\(\tan\theta\) の加法定理から
～ 三角関数が内包する多様な世界 ～
埼玉県高等学校数学教育研究会
2016年２月 執筆
§１．はじめに
　三角関数は, その単純な定義に比して多種多様な関係式を構成する. 大学入試においては, 相互関係, 加法定理, 和積公式などを用いた等式の証明問題が数多く見られ,
　
\(\cos^{2}\!\!\:\theta+\cos^{\!\:2}\!\!\:
\left(\theta\!\!\:+\!\:\!\!\displaystyle{\frac{\,2\pi\,}{3}\!}\right)
+\cos^{\!\:2}\!\!\:\left(\theta\!\!\:-\!\!\!\:
\displaystyle{\frac{\,2\pi\,}{3}\!}\right)=\displaystyle{\frac{\,3\,}{\,2\,}}\,\!\:\)		 (1991年, 学習院大学)　　　 \((1.1)\)
  \(\cos\!\displaystyle{\frac{\,\pi\,}{10}}
\cos\!\displaystyle{\frac{\,3\pi\,}{10}}
\cos\!\displaystyle{\frac{\,7\pi\,}{10}}
\cos\!\displaystyle{\frac{\,9\pi\,}{10}}\!=\!\displaystyle{\frac{5}{\,16\,}}\)		 (1996年, 京都大学)　 　 \((1.2)\)
  \(\cos^{\!\:\!\:2}\!\!\displaystyle{\frac{\pi}{\,18\,}}\!
+\cos^{\!\:\!\:2}\!\!\displaystyle{\frac{\,7\pi\,}{18}}\!
+\cos^{\!\:\!\:2}\!\!\displaystyle{\frac{\,13\pi\,}{18}}
=\displaystyle{\frac{\,3\,}{\,2\,}}\:\!\:\)		 (2003年, 早稲田大学)　　　 \((1.3)\)
  \(\cos20^{\circ}\cos40^{\circ}\cos80^{\circ}
=\displaystyle{\frac{1}{\,8\,}}\,\!\:\!\:\)
 (2005年, 自治医科大学) \((1.4)\)
   \(\cos\!\displaystyle{\frac{\,2\pi\,}{7}}\!
+\cos\!\displaystyle{\frac{\,4\pi\,}{7}}\!
+\cos\!\displaystyle{\frac{\,6\pi\,}{7}}
\!=-\displaystyle{\frac{1}{\,2\,}}\:\!\:\)		 (2007年, 慶應義塾大学)  \((1.5)\)
  \(\tan1^{\circ}\tan2^{\circ}
\cdots\cdots\tan88^{\circ}\tan89^{\circ}=\,\,\,1\,\:\:\:\)		 (2011年, 同志社大学)　 \((1.6)\)
　
など, 特殊な数値に関する単純な計算問題も頻繁に出題されている.
　
　\((1.2)\) のように見かけは単純ながらも煩雑な計算を要するものもあれば, \((1.6)\) のように計算式は長大ながらも簡単に解を得られるものもある. その中で, ３年前に千葉大学理学部において等式証明問題として出題された
　
\(\textcolor{blue}{\tan10^{\circ}=\tan20^{\circ}\tan30^{\circ}\tan40^{\circ}}\) (2013年, 千葉大学)　 \((1.7)\)
　
は, (i) 問題の簡潔性, (ii) 規則の単純性, (iii) 結果の意外性, (iv) 解法の多様性, の４つの観点から見て興味深い問題であった.
　
　本稿では, これらの問題を契機として, 同種の関係式を探求しようと思う.
　

　
§２．解法の検討
　\((1.1)\) のような計算は大学入試における頻出問題であるが, 適用範囲が狭いためか, 受験参考書において公式を見かけたことはない. 試みにこれを求めてみると, 加法定理により, 任意の \(\theta\in\mathbb{R}\) についての恒等式\[\textcolor{blue}{\cos^2\!\theta+\cos^2\!
\left(\theta\!\!\:+\!\!\!\:\frac{\!\:n\pi\!\:}{3}\!\!\:\right)
+\cos^2\!\left(\theta\!\!\:-\!\!\!\:\frac{\!\:n\pi\!\:}{3}\!\!\:\right)
=\begin{cases}\:3\cos^2\theta\:\:\:(\,n\!\equiv\!0\:\:\textrm{mod}\:3\,)\\
\displaystyle{\frac{3}{\,2\,}}\:\:\:(\,n\!\not\equiv\!0\:\:\textrm{mod}\:3\,)\end{cases}}\tag{2.1}\]が得られ, \((2.1)\) において, \(n\!=\!1,\:\theta\!\!\:=\!\!\displaystyle{\frac{\pi}{18}}\)とおけば \((1.3)\) が得られる.
　
　また, \((1.2)\) は, 実際の入試では \(\cos 5\theta\) を \(\cos\theta\) の関数として表す (第１種 Tchebyshev 多項式を作る) ように誘導が施されていた. 解法指定があるという点では「解法の多様性」には該当しないが, ４次方程式における解と係数の関係により三角関数の積を求めるという「解法の意外性」が (出題当時には) あった. 以後, この種の問題の出題頻度が高まったため, 現在ではこの解法は定石とされている.
　
　さて, これについても (適用範囲の狭さを度外視して) 公式を求めてみよう. \(n\in\mathbb{N}\) として\[f(\theta\!\:)=(\cos\theta\!+\!i\sin\theta\!\:)^n\]とおけば, de Moivre の定理および二項定理より, \[\begin{equation}\begin{split}f(\theta)&=\:\cos n\!\:\theta+i\sin n\!\:\theta\\
&=\:\sum_{k\!\:=\!\:0}^{n}i^{\!\:k}\binom{n}{k}\cos^{n-k}\!\theta\,\sin^k\!\theta
\end{split}\end{equation}\tag{2.2}\]すなわち,\[\cos n\!\:\theta=
\displaystyle{\sum_{k\!\:=\!\:0}^{\left[\!\frac{\,n\:\:\!}{2^{　}\!\!}\!\right]}}(-1)^{\!\:k}\binom{n}{2k}
\cos^{n-2k}\!\theta\:(1\!-\!\cos^2\!\theta\!\:)^{k}\]が成り立つ. ここで, \(f(\theta\!\:)=\cos\theta\:g(\theta\!\:)\), \(n\!=\!2\!\:l\!+\!1\)（\(\,l\in\mathbb{N}\,\)）とおけば, \(\cos^2\!\theta\) についての \(l\) 次方程式 \(g(\theta)=0\) は, 最高次の項の係数が \(2^{2l}\), 定数項が \((-1)^l(2\!\:l\!+\!1)\) であり, \[\theta_{k}=\cos\frac{\,2k\!+\!1\,}{4\!\:l\!+\!2}\pi\:\:(\,k\!=\!1,\,\cdots,2l\,)\]のうち \(\theta_{2\:\!l+1}\) 以外の \(l\!-\!1\) 個の相異なる \(\theta_{k}\) を解にもつから, 解と係数の関係より,\[\textcolor{blue}{\prod_{\substack{k\!\:=\!\:1\\k\!\:\ne\!\:l}}^{2\!\:l}\cos\frac{\,2k\!+\!1\,}
{4\!\:l\!+\!2}\pi=\frac{2l\!+\!1}{2^{{}^{2\,l}}}}\tag{2.3}\]が成り立つ. \((1.2)\) は, \((2.3)\) において \(l\!=\!2\) とおいた場合にほかならない.
　
　同様に, 解と係数の関係より, \[\textcolor{blue}{\sum_{k\!\:=\!\:1}^{2\!\:l}\cos\frac{2k\!+\!1}{\,4\!\:l\!+\!2\,}\pi=0\tag{2.4}}\]も成り立つから, \((2.4)\) において \(l\!=\!3\) とおけば, \(\cos\,(\pi\!-\!\theta\!\:)=-\cos\theta\) を援用して \((1.5)\) が得られる.
　
　
　\((1.4)\) は, Wolfram MathWorld において Morrie's Law という名で紹介されている (物理学者 Richard Feynman の幼少時の記憶に由来するという) 関係式である.
　２倍角公式あるいは積和公式を用いた解法が考えられるが, ３倍角公式から得られる\[4\cos\theta\!\:
\cos\left(\!\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\!\!+\!\!\:\theta\!\:\right)\,\cos\left(\!\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\!\!
-\!\!\:\theta\!\:\right)=\cos3\!\:\theta\tag{2.5}\]に \(\theta\!=\!20^{\circ}\) を代入する解法も考えられる. 一般に, \(\theta\!=\!\!\displaystyle{\frac{\,k\pi\,}{18}}(k\!\in\!\mathbb{Z})\) について \((2.5)\) の値を求めることは容易である.
　この種の計算も頻出問題であるから, 試みに公式を求めてみよう. ２倍角公式を繰り返し適用すれば, 任意の \(n\in\mathbb{N}\,\backslash\{1\}\) について,\[\textcolor{blue}{\prod_{k\!\:=\!\:1}^{\,n}\cos\frac{2^{k-1}\,\pi}{\,2^{{}^{n}}\!\pm\!1\,}=
\frac{\sin\displaystyle{\frac{2^n\pi}{\,2^{{}^{n}}\!\pm\!1\,}}}
{2^{{}^{n}}\sin\displaystyle{\frac{\pi}{\,2^{{}^{n}}\!\pm\!1\,}}}}\tag{2.6}\]が成り立ち, \[\sin\frac{2^n\pi}{\,2^{{}^{n}}\!+\!1\,}>0,\:\:\sin\frac{2^n\pi}{\,2^{{}^{n}}\!-\!1\,}<0
,\:\:\left|\,\sin\!\frac{2^n\pi}{\,2^{{}^{n}}\!\pm\!1\,}\right|\,=\sin\!\frac{\pi}{\,2^{{}^{n}}\!\pm\!1\,}\]であるから, \((2.6)\) の値は \(\textcolor{blue}{\pm\!\!\:\displaystyle{\frac{1}{\,2^{{}^{n}}}\!\!}}\,\) (複号同順) に等しい. \((1.4)\) は, \((2.6)\) において \(n\!=\!3\) とおいた場合にほかならない.
　
　また, \((1.6)\) は, 等式\[\tan\left(\frac{\pi}{\,2\,}\!-\theta\right)=\cot\theta\tag{2.7}\] を適用すればよい.
　
　\((1.7)\) は, 加法定理と３倍角公式から得られる\[\tan\theta\,\tan\left(\frac{\,\pi\,}{3}\!+\!\!\:\theta\right)
\tan\left(\frac{\,\pi\,}{3}\!-\!\!\:\theta\right)=\tan3\!\:\theta\tag{2.8}\]に \(\theta\!=\!20^{\circ}\) を代入して \((2.7)\) を適用する解法や, \(\tan10^{\circ}\!=t\) とおき, 加法定理を用いて得られる\[\tan20^{\circ}
=\frac{\,1\!-\!\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\!t\,},
\:\:\tan40^{\circ}=\frac{\,1\!+\!\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\!t\,},\:\:\tan30^{\circ}=\frac{3t\!-\!t^3}{\,1\!-\!3t^2}\]を用いた解法, あるいは, 積和公式から得られる\[\sin20^{\circ}\sin40^{\circ}\cos10^{\circ}=\!\frac{1}{\,4\,}\cos30^{\circ},
\:\:\:\cos20^{\circ}\cos40^{\circ}\sin10^{\circ}=\!\frac{1}{\,4\,}\sin30^{\circ}\]から各 \(\tan\theta\) 間の関係を得る解法などが考えられる.
　

　　
§３．\(\tan\theta\) の加法定理から
　\((2.8)\) に \(\theta\!\!\:=\!\!\:10^{\circ}\) を代入して \((2.7)\) を適用すれば, \[\textcolor{blue}{\tan80^{\circ}=\tan70^{\circ}\tan60^{\circ}\tan50^{\circ}}\]が得られ, よく知られているように, \(\alpha\!\:\!+\!\beta\!\!\:+\!\!\:\gamma=\pi\) ならば, \[\tan\alpha\,\tan\beta\,\tan\gamma
=\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma\]であるから, \[\textcolor{blue}{\tan80^{\circ}=\tan70^{\circ}+\tan60^{\circ}+\tan50^{\circ}}\]が成り立つ. さらに, \((2.8)\) に \(\theta\!\!\:=\!\!\:5^{\circ}\) を代入して \((2.7)\) を適用すれば, \[\begin{equation}\begin{split}\textcolor{blue}{\tan5^{\circ}=}
&\:\textcolor{blue}{\tan15^{\circ}\tan25^{\circ}\tan35^{\circ}}\\
\Longleftrightarrow \:\:\textcolor{blue}{\tan85^{\circ}=}&\:\textcolor{blue}{{\tan75^{\circ}\tan65^{\circ}\tan55^{\circ}}^{　}}
\end{split}\end{equation}\]が得られる.

　さて, \(\:\alpha\!+\!\beta=\!\displaystyle{\frac{\:\pi\:}{4}}\!\) ならば, 加法定理より,\[(\,\tan\alpha\!+\!1\,)(\,\tan\beta\!+\!1\,)=2\]であるから, \[\textcolor{blue}{\prod_{k\!\:=\!\:1}^{\,45}\!\left(\tan\!\frac{k}{\,180\,}\pi\!+\!1\right)=2^{23}}\]が成り立つ. \(\,\alpha\!+\!\beta=\!\displaystyle{\frac{\:\pi\:}{6}}\!\) ならば, 同様にして,
\[\textcolor{blue}{\prod_{k\!\:=\!\:1}^{\,29}\!\left(\tan\!\frac{k}{\,180\,}\pi\!+\!\sqrt{3}\right)=2^{29}}\]が成り立ち, \(\:\alpha\!+\!\beta=\!\displaystyle{\frac{\:\pi\:}{3}}\!\) ならば, \[\textcolor{blue}{\prod_{k\!\:=\!\:1}^{\,59}\!\left(\!\sqrt{3}\tan\!\frac{k}{\,180\,}\pi\!+\!1\right)=2^{59}}\]が成り立つ.
　
　次に, \(n\!\in\!\mathbb{N},\:n\!\not\equiv\!0\:\:\textrm{mod}\:3\) として, \((2.1)\) の \(\tan\theta\) 版\[T\!\left(\theta\right)=\tan^2\theta+\tan^2\!
\left(\theta\!\!\:\!\:+\!\:\!\:\!\!\displaystyle{\frac{n\pi}{3}}\!\right)
+\tan^2\!\left(\theta\!\!\:\!\:-\!\:\!\:\!\!\displaystyle{\frac{n\pi}{3}}\!\right)\tag{3.1}\] を考えよう. 加法定理と３倍角公式から得られる
\[\tan\theta+\tan\left(\!\frac{\,\pi\,}{3}\!+\!\!\:\theta\right)
+\tan\left(\!\frac{\,\pi\,}{3}\!-\!\!\:\theta\right)=3\tan3\!\:\theta\]の両辺を \(\theta\) で微分すれば,\[\sec^2\!\theta+\sec^2\!\left(\theta+\!\!\frac{\,\pi\,}{3}\!\right)
+\sec^2\!\left(\theta\!-\!\!\frac{\,\pi\,}{3}\!\right)=
9\sec^2\!3\theta\]が得られ, \(\tan^2\!\theta\!+\!1=\sec^2\!\theta\) を用いれば\[T(\theta)=3\,(3\tan^2\!3\theta+\!2)\]が得られるから, これより, \[\begin{equation}\begin{split}&\textcolor{blue}
{T\!\left(\!\frac{k\pi}{18}\!\right)=9}\:\:&\textcolor{blue}
{(\,k\!\equiv\!\pm1\:\:\textrm{mod}\:4\,)}\\
&\textcolor{blue}{T\!\left(\!\frac{k\pi}{9}\!\right)=33}\:&\textcolor{blue}{(\,k\!\not\equiv\!0\:\:\textrm{mod}\:3\,)}
\end{split}\end{equation}\]が成り立つことがわかる.
　

　
§４．三角関数の加法定理から
　\((1.6)\) における \(\theta\) を \(\theta\!=\!\!\displaystyle{\frac{k\!\:p}{\,180\,}\pi}\)（\(\,k,\,p\in\mathbb{N}\,\)）に置き換えれば,\[\textcolor{red}{\prod_{k\!\:=\!\:1}^{89}\tan \frac{k\!\:p}{\,180\,}\pi=(-1)^{\frac{\,p\!\:\!\:-\!\:1\,}{\:\:\:2^{　}}}}\tag{4.1}\]が成り立つ. \((4.1)\) において \(p\!=\!1\) とおけば \((1.6)\) と同値であるが, \((4.1)\) においては, 任意の \(k\) について \(k\!\:p\!\!\:\neq\!\displaystyle{\frac{\:\pi\:}{2}}\) であることが必要であるから, ここでは \(p\) を \(7\) 以上の素数としておこう. このとき, \[\begin{equation}\begin{split}
&\prod_{k\!\:=\!\:1}^{89}\tan\frac{\:k\!\:p\:}{\,180\,}\pi\\
=&\:\tan\frac{\,p\,}{2}\pi\,\cdot\prod_{k\!\:=\!\:1}^{44}
\frac{\,\sin\displaystyle{\frac{k\!\:p}{\,180\,}}\pi\,
\sin\left(\!\displaystyle{\frac{p}{\,2\,}}\!-\!\frac{k\!\:p}{\,180\,}\!\right)\pi\,}
{\,\cos\displaystyle{\frac{k\!\:p}{\,180\,}}\pi\,
\cos\left(\!\displaystyle{\frac{p}{\,2\,}}\!-\!\frac{k\!\:p}{\,180\,}\!\right)\pi\,}\\
=&\:\tan\frac{\,p\,}{2}\pi\,\cdot\prod_{k\!\:=\!\:1}^{44}
\frac{-\displaystyle{\frac{1}{\,2\,}}
\left(\cos\frac{\,p\,}{2}\pi-\cos\left(\!\frac{p}{\,2\,}\!-\!\frac{2k\!\:p}{\,180\,}\!\right)\pi\!\right)}
{\displaystyle{\frac{1}{\,2\,}}
\left(\cos\frac{\,p\,}{2}\pi+\cos\left(\!\frac{p}{\,2\,}\!-\!\frac{2k\!\:p}{\,180\,}\!\right)\pi\!\right)}
\end{split}\end{equation}\]であることより \((4.1)\) を得る.
　
　\((1.6)\) は \(\tan\theta\) の積であったから, これを \(\sin\theta\) の積に変えてみよう. \(k\!\in\!\mathbb{N}\) として, \[\prod_{k\!\:=\!\:1}^{\:89}\!\sin\!\frac{\,k\,}{\,180\,}\pi\!=S_{1}S_{2}\:\:\:\:(\,S_{1}
=\!\prod_{k\!\:=\!\:1}^{\:45}\!\sin\!\frac{\,(2k\!-\!1)\,}{\,180\,}\pi,\,
\:S_{2}=\!\prod_{k\!\:=\!\:1}^{\:44}\!\sin\!\frac{\,2k\,}{\,180\,}\pi\,)\]とおくと, \[\begin{equation}\begin{split}S_{1}S_{2}&=\:\sin\!\frac{\,1\,}{4}\pi\!\cdot\!\prod_{k\!\:
=\!\:1}^{44}\sin\!\frac{k}{\,180\,}\pi\,\sin\left(\!\frac{1}{\,2\,}\!-\!\frac{k}{\,180\,}\!\right)\pi\\
&=\frac{\sqrt{2\,}}{2}\prod_{k\!\:=\!\:1}^{44}\sin\frac{k}{\,180\,}\pi\,\cos\frac{\,k\,}{\,180\,}\pi\\
&=\frac{\sqrt{2\,}}{2^{45}}S_{2}\end{split}\end{equation}\]であるから,\[\begin{equation}\begin{split}&\:\:S_{1}=\prod_{k\!\:=\!\:1}^{45}\sin\frac{\,2k\!-\!1\,}{180}\pi
=\frac{\sqrt{2\,}}{2^{45}}\\
&\Longleftrightarrow\:\:\textcolor{blue}{\prod_{k\!\:=\!\:1}^{45}2\sin\frac{\,2k\!-\!1\,}{180}\pi=\sqrt{2}}
\end{split}\end{equation}\tag{4.2}\]が得られる.
　同様にして, \((4.2)\) の \(\cos\theta\) 版\[\begin{equation}\begin{split}&\prod_{k\!\:=\!\:1}^{45}\cos\frac{\,2k\!-\!1\,}{180}\pi
=\:\:\frac{\sqrt{2\,}}{2^{45}}\\
\Longleftrightarrow\:\:&\,\textcolor{blue}{\prod_{k\!\:=\!\:1}^{45}2\cos\frac{\,2k\!-\!1\,}{180}\pi
=\sqrt{2}}\end{split}\end{equation}\]も得られる.
　
　さて,\[\sin\left(\!\frac{\pi}{\,2\,}\!-\theta\right)=\cos\theta,\:\:\:\sin^2\!\theta+\cos^2\!\theta=1\tag{4.3}\] を用いれば, \[\begin{equation}\begin{split}&\textcolor{blue}{\sum_{k\!\:=\!\:1}^{89}\,\sin^2\!\frac{k}{\,180\,}\pi\:}
&\textcolor{blue}{=\frac{\,89\,}{2}}\\
&\textcolor{blue}{\sum_{k\!\:=\!\:1}^{89}\,\cos^2\!\frac{k}{\,180\,}\pi\:}&\textcolor{blue}{=\frac{\,89\,}{2}}
\end{split}\end{equation}\]を得ることは容易である. その \(\tan\theta\) 版\[\textcolor{red}{\sum_{k\!\:=\!\:1}^{89}\,\tan^2\!\frac{k}{\,180\,}\pi=\frac{\,15931\,}{3}}
\tag{4.4}\]は, 次のようにして得られる. \((2.2)\) より,\[\tan n\!\:\theta=
\frac{\:\displaystyle{\sum_{k\!\:=\!\:1}^{\left[\!\frac{n}{\:2^{　}\!}\!\right]}}\,i^{\,k-1}\binom{n}{2k\!-\!1}
\tan^{2k-1}\theta\:}{\,\displaystyle{\sum_{k\!\:=\!\:0}^{\left[\!\frac{n}{\:2^{　}\!}\!\right]}}\,i^{\,k}
\binom{n}{2k}\tan^{2k}\theta}\tag{4.5}\]が成り立つから, \((4.5)\) の右辺の分子を \(\tan\theta\:g\!\:(\theta)\) とおき, \(n\!=\!180\) とおけば, \(\tan^2\!\theta\) についての \(89\) 次方程式 \(g\!\:(\theta)\!=\!0\) すなわち\[\sum_{k\!\:=\!\:0}^{\,89}(-1)^{k}\binom{180}{2k\!-\!1}(\tan^2\!\theta)^{k}=0\]は, 異なる \(89\) 個の解 \(\theta\!=\!\!\displaystyle{\frac{k}{\,180\,}}\pi\:\:(\,k\in\mathbb{N},\:1\!\leq\!k\!\leq\!89\,)\) をもつから, 解と係数の関係より, \[\sum_{k\!\:=\!\:1}^{89}\tan^2\!\!\frac{k}{180}\!\pi=\frac{\displaystyle{\binom{180}{177}}}
{\displaystyle{\binom{180}{179}}}\]すなわち \((4.4)\) を得る. 特定の複素関数とその留数を用いて求めることもできるが, 計算の手間はそれほど変わらない.
　
　また, \(\sin\theta\) の加法定理から得られる等式\[\begin{equation}\begin{split}&\tan\alpha-\tan\beta=\frac{\,\sin\,(\alpha\!-\!\beta\,)\,}
{\cos\alpha\,\cos\beta\,}\\
&\Longrightarrow\:\:\tan\frac{\,k\!+\!1\,}{180}\pi-\tan\frac{k}{\,180\,}=
\frac{\sin\displaystyle{\frac{1}{\,180\,}}\pi}{\cos\displaystyle{\frac{\,k\!+\!1\,}{180}}\pi\:
\cos\displaystyle{\frac{k}{\,180\,}}\pi\,}\end{split}\end{equation}\]を用いれば,\[\textcolor{blue}{\sum_{k\!\:=\!\:0}^{\,44}\!\frac{\sin\!\displaystyle{\frac{1}{\,180\,}}\pi}
{\,\cos\!\displaystyle{\frac{k}{\,180\,}}\!\pi\:\cos\!\displaystyle{\frac{\,k\!+\!1\,}{180}}\!\pi\,}=1}\]が得られる.
　さらに, \(\sin\theta,\:\cos\theta\) の加法定理から得られる\[\cos\alpha\,\cos\,(\alpha\!+\!\beta\!\:)
+\sin\alpha\sin\,(\alpha\!+\!\beta\!\:)=\cos\beta\]を用いれば, \[\sum_{k\!\:=\!\:0}^{\,89}
\left(\cos\!\frac{k}{\,180\,}\!\pi\,\cos\!\frac{\,k\!+\!1\,}{180}\!\pi+
\sin\!\frac{k}{\,180\,}\!\pi\,\sin\!\frac{\,k\!+\!1\,}{180}\!\pi\right)\:\:=90\cos\!\frac{1}{\,180\,}\!\pi\]すなわち,\[\textcolor{blue}{\sum_{k\!\:=\!\:0}^{\,89}\!
\frac{\,\cos\!\displaystyle{\frac{k}{\,180\,}}\!\pi\:\cos\!\displaystyle{\frac{\,k\!+\!1\,}{180}}\!\pi\,}
{\cos\!\displaystyle{\frac{1}{\,180\,}}\pi}=45}\]が得られる.
　

　
§５．数値実験から
　以上, 三角関数の加法定理を用いて得られる関係式を考察してきたが, これらとは別に, EXCELを用いた数値実験から得られた関係式の量は夥しく, 枚挙に暇がない.
　ここでは, その中からごく一部 (\(\tan\theta\) に関する結果のみ) を記しておく.
　
　初項を \(a\in\mathbb{Z}\) とする公差 \(d\in\mathbb{Z}\) の等差数列 \(\{a_{{}_{k}}\}\) について, \[T_{n}(a,\,d)=\sum_{k\!\:=\!\:1}^{\,45}\tan^n\!\frac{a_{{}_{k}}}{180}\pi\:\:(n\in\mathbb{N})\]とおけば, \(a\equiv1\:\:\textrm{mod}\:2\), かつ, \(r\in\mathbb{N}\setminus\!\{1\}\) のとき, \[\textcolor{blue}{T_{2}(a,\,2^r)=4005}\tag{5.1}\]が成り立つ. \(r\!=\!1\) のとき, \(a\!\equiv\!1\:\:\textrm{mod}\:180\) の場合に限り, \((5.1)\) が成り立つ. すなわち\[\begin{equation}\begin{split}
T_{2}(1, 2)&=\sum_{k\!\:=\!\:1}^{45}\,\tan^2\!\frac{2k\!-\!1}{\,180\,}\pi\\
&=\textcolor{blue}{\tan^2 1^{\circ}\!+\tan^2 3^{\circ}\!
+\tan^{2} 5^{\circ}\!+\cdots+\tan^2 87^{\circ}\!+\tan^2 89^{\circ}=4005}\\
\end{split}\end{equation}
\]が成り立つ. 一般に, この \(a,\,2^r\) および任意の \(n\in\mathbb{N}\) について, \[\begin{equation}\begin{split}&\textcolor{red}{T_{\!\:2n}(a,\,2^r)=4005\,m_{1}}\\
&\textcolor{red}{T_{\!\:2n-1}(a,\,2^r)=45\,m_{2}}\end{split}\end{equation}\]をみたす \(m_{1},\,m_{2}\in\mathbb{N}\) が存在する. さらに, \(a\equiv0\:\textrm{mod}\:\:4\) ならば, 任意の \(n\in\mathbb{N}\) について, \[\textcolor{red}{T_{n}(a,\,2^r)=1980\!\:m_{3}}\]を満たす \(m_{3}\in\mathbb{N}\) が存在し, \(p\in\mathbb{N}\) が \(7\) 以上の素数ならば, 任意の \(n\in\mathbb{N}\) について,\[\textcolor{red}{T_{2n}(p,\,2p)=4005\!\:m_{4}}\]を満たす \(m_{4}\in\mathbb{N}\) が存在する.
　
　次に, 初項 \(a\) を非整数\(\,(a\in\mathbb{R}\!\setminus\!\mathbb{Z})\,\)とする公差 \(d\in\mathbb{N}\) の等差数列 \(\{a_{{}_{k}}\}\) について,\[\textcolor{blue}{\prod_{k\!\:=\!\:1}^{n}\tan\!\frac{a_{{}_{k}}}{180}\pi=1}\]をみたす \(\textcolor{blue}{n\in\mathbb{N}}\) の最小値を \(\textcolor{blue}{n(d)}\) とおく. \(d\!\!\:\equiv\!\!\:0\:\:\textrm{mod}\:4\) ならば \(n(d)\) は存在せず, \(p\in\mathbb{Z}\) が \(7\) 以上の素数ならば \(n(p)=180\) である.
　\(\tan\theta\) の特異点を与える \(\theta\!=90^{\circ}\!=(2\cdot\!3^2\!\cdot\!5)^{\!{}^{\circ}}\) を基準に, まず,\[\textcolor{blue}{n(2)=180,\:\:n(3)=60,\:\:n(5)=36,\:\:n(3^2)=20}\tag{5.2}\]を得ておく. \(p_{{}_{j}}\) を素数とし, \(\alpha_{{}_{j}}\in\mathbb{N}\) として, \(d\) の素因数分解を\[\textcolor{blue}{d=\prod_{j\!\:=\!\:1}^{r} {p_{{}_{j}}}^{\!\!\alpha_{{}_{j}}}}\]とおけば,\[\textcolor{blue}{n(d)=\textrm{gcd}\,(\,n({\,p_{{}_{1}}}^{\!\!\alpha_{{}_{1}}}),
\:n({\,p_{{}_{2}}}^{\!\!\alpha_{{}_{2}}}),\:
\cdots,\:n({\,p_{{}_{r}}}^{\!\!\alpha_{{}_{r}}})\,)}\tag{5.3}\]が成り立つ. 詳細は割愛するが, \((5.2)\) における各左辺に現れる４個の数についてのみ, \((5.3)\) における \(\gcd\) を計算する意味をもち, \(p_{{}_{j}}\!\geq\!7\) の場合, あるいは \(3^2\) 以外で指数が \(\alpha_{j}\!\geq\!2\) になる場合については考慮する必要はない. たとえば, \[\begin{equation}\begin{split}n(54)&=\textrm{gcd}\,(\!\:n(2), \:n(3^2)\!\:)&=&\:20\\
n(525)&=\textrm{gcd}\,(\!\:n(3),\:n(5),\:n(7)\!\:)&=&\:12^{　}\end{split}\end{equation}\]であるから, 任意の \(x\in\mathbb{R}\!\setminus\!\mathbb{Z}\) について,\[\begin{equation}\begin{split}\textcolor{red}{\prod_{k\!\:=\!\:1}^{20}\,\tan\!\frac{\,x\!+\!54k\,}{180}\pi}
\:&\textcolor{red}{=1}&\\
\textcolor{red}{\prod_{k\!\:=\!\:1}^{12}\,\tan\!\frac{\,x\!+\!75k\,}{180}\pi}
\:&\textcolor{red}{=1}&\:\:\:(\,525\!\equiv\!75\:\:\textrm{mod}\:180\,)\end{split}\end{equation}\]が成り立つ.
　

　
§６．おわりに
　本稿に掲げた関係式は, 冒頭の入試問題を発端として, この数ヶ月間の断続的な実験や計算によって得たものである. 内容の洗練や理論的な背景の考察には至っていないが, 三角関数について新たな関係式を構築していく過程は, 筆者にとって新鮮かつ興味深い発見に満ちたものであった.
　
　本稿で考察した関係式は等式のみとしたが, 不等式についても興味深い関係式が知られている. 文献 [3], [4] などには, 大学入試に出題され得るレヴェルの等式や不等式が多数く掲載されている (大半が有名な問題であり, 問題作成担当者もこれらを参照していると思われる). 不等式については, また別の機会を見て考察することにしたい.
　
【文献】
[1] 雲幸一郎『三角関数の問題』, 月刊誌「大学への数学」東京出版, 2015年10月号, pp.50-51, 2015年12月号, pp.44-47.
[2] 樋口禎一・森田康夫編『高校数学解法事典』旺文社, 2012
[3] C.V.Durrell & A.Robson, "Advanced Trigonometry", G. Bell and Sons, Ltd., 1961. pp.204-217.
[4] Titu Andreescu, Zuming Feng, “103 Trigonometry Problems From the Training of the USA IMO Team”, Birkhäuser, Boston, 2005. pp.63-68, p.73, pp.84-107, pp.120-126.
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