オイラーの分数式

オイラーの分数式
～大学入試問題から～

埼玉県高等学校数学教育研究会
2013年２月執筆

§１．はじめに

　相異なる３個の定数 \(a,\,b,\,c\) についての分数式\[E\,(k)=\frac{a^k}{\,(a\!-\!b)(a\!-\!c)\,}
+\frac{b^{\!\:k}}{\,(b\!-\!a)(b\!-\!c)\,}+
\frac{c^{\!\:k}}{\,(c\!-\!a)(c\!-\!b)\,}\tag{1.1}\]は, 受験参考書などでは「Eulerの分数式」と紹介され, この式について\[\begin{equation}\begin{split}E\,(0)&=0\\
E\,(1)&=0^{　}\\
E\,(2)&=1^{　}\\
E\,(3)&=a+b+c^{　}\end{split}\end{equation}\]を示す問題は, 大学入試における頻出問題である. その一方, 上記以外の \(k\) の値について \(E\,(k)\) を求める問題を (出題されたことはあるのかも知れないが) 筆者は見かけたことがない.
　
　試みに \(k\) の値を変えてみれば, たとえば,\[\begin{equation}\begin{split}
E\,(4)\,\,\,\,&=a^2\!+b^{\!\:2}\!+c^{\!\:2}+ab+bc+ca\\
E\,(5)\,\,\,\,&=a^3\!+b^{\!\:3}\!+c^{\!\:3}+a^2b+a^2c+b^{\!\:2}a+
b^{\!\:2}c+c^{\!\:2}a+c^{\!\:2}b+{abc^{　}}^{　}\\
E\,(-1)&=\frac{1}{\,a\!\:b\!\:c\,}\\
E\,(-2)&=\frac{\,ab+bc+ca\,}{a^2\!\:b^2\!\:c^2}^{　}\end{split}\end{equation}\]などが得られる.
　
　本稿では, 一般の \(k\in\mathbb{Z}\) について \(E\,(k)\) を考察しようと思う.
　

§２．定義と基本性質

　まず, \((1.1)\) を一般化しておこう.
　
　相異なる \(n\) 個の定数 \(a_{i}\in\mathbb{R}\,(\,i=1, \,2, \,\cdots, \,n)\) について, \(z\in\mathbb{R}\) の多項式\[g_{\!\:n}(z)=\prod_{i\!\:\,=\!\:1}^{n}(z-a_{i})\]の展開式における \(z^{n-i}\) の係数を \((-1)^i\,\sigma_{ni}\) とおく. すなわち, \[\prod_{i\!\:\,=\!\:1}^{n}(z-a_{i})
=\sum_{i\!\:\,=\!\:1}^{n}\,(-1)^i\,\sigma_{ni}\,z^{n-i}\]とおけば, よく知られているように \(\sigma_{ni}\) は \(a_{i}\) についての基本対称式である. たとえば, \(g_{3}(z)\) については,\[\begin{equation}
\begin{split}&(z\!-\!a_{1})(z\!-\!a_{2})(z\!-\!a_{2})\\
=&\,z^3-(a_{1}\!+\!a_{2}\!+\!a_{3})\,z^2+(a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}+a_{3}a_{1})
\,z-a_{1}a_{2}a_{3}^{　}\end{split}\end{equation}\]であるから, \[\begin{equation}\begin{split}
\sigma_{31}&=a_{1}\!+\!a_{2}\!+\!a_{3}\\
\sigma_{32}&=a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}+a_{3}a_{1}\\
\sigma_{33}&=a_{1}a_{2}a_{3}\end{split}\end{equation}\]である.
　
　このとき, 任意の \(k\in\mathbb{Z}\) について, \[E_{\!\:n}(k)=
\sum_{i\!\,\:=\!\:1}^{n}\frac{a_{n}^{\,k}}
{\displaystyle{\frac{d}{\,dz\,}}g_{n}(a_{i})\,}\tag{2.1}\]とおけば, これが \((1.1)\) を一般化した分数式になる. たとえば, \(n\!=\!3\) のとき,\[\frac{d}{\,dz\,}g_{3}(z)
=(z\!-\!a_{2})(z\!-\!a_{3})+(z\!-\!a_{1})(z\!-\!a_{3})+(z\!-\!a_{1})(z\!-\!a_{2})\]であるから, \[\begin{equation}\begin{split}
E_{3}(k)&
=\sum_{i\!\:\,=\!\:1}^{\!\:3}\frac{a_{i}^{\,k}}
{\,\displaystyle{\frac{d}{\,dz\,}\,g_{3}(a_{i})\,}}\\
&=\frac{a_{1}^{\,k}}{\,(a_{1}\!-\!a_{2})(a_{1}\!-\!a_{3})\,}
+\frac{a_{2}^{\,k}}{\,(a_{2}\!-\!a_{1})(a_{2}\!-\!a_{3})\,}
+\frac{a_{3}^{\,k}}{\,(a_{3}\!-\!a_{1})(a_{3}\!-\!a_{2})\,}
\end{split}\end{equation}\tag{2.2}\]が成り立つ.
　\((1.1)\) における \(E\,(k)\) は, \((2.2)\) における \(E_{\!\:3}(k)\) にほかならない.
　
　Lagrange の補間式\[\textcolor{blue}{f_{n}(z)=\sum_{i\!\:\,=\!\:1}^{n}
\frac{f_{n}(a_{i})}{\displaystyle{\frac{d}{\,dz\,}}
g_{n}(a_{i})\,}\frac{\,g_{n}(z)\,}{z\!-\!a_{i}}}\tag{2.3}\]を用いれば, \(f_{\!\:n}(z)=z^{\,j}\,(\,j=0,\,1,\,\cdots,\,n\!-\!1\,)\) とおいて, 両辺の \(z^{n-1}\) の係数を比較することで, \[\begin{equation}\begin{split}
\textcolor{blue}{E_{\!\:n}(\!\:n\!-\!1)}&\textcolor{blue}{\,=1}\\
\textcolor{blue}{E_{\!\:n}(\!\:n\!-\!j\!\:)}
&\textcolor{blue}{\,=0^{　}\,\,\,(\,j=2,\,3,\,\cdots,\,n\,)}
\end{split}\end{equation}\tag{2.4}\]が得られる.
　余談であるが, 高木貞治は \((2.4)\) を「Eulerの公式」と称している ([1] p.65). \((1.1)\) の名称の由来はここにあるのかも知れない.
　
　\((2.3)\) において, たとえば, \(n\!=\!3\) のとき,\[f_{3}(z)=
\frac{f_{3}(a_{1})}{\displaystyle{\frac{d}{\,dz\,}}
g_{3}(a_{1})\,}\!\frac{\,g_{3}(z)\,}{z\!-\!a_{1}}
+\frac{f_{3}(a_{2})}{\displaystyle{\frac{d}{\,dz\,}}
g_{3}(a_{2})\,}\!\frac{\,g_{3}(z)\,}{z\!-\!a_{2}}
+\frac{f_{3}(a_{3})}{\displaystyle{\frac{d}{\,dz\,}}g_{3}(a_{3})\,}
\!\frac{\,g_{3}(z)\,}{z\!-\!a_{3}}\]であるから, \(f_{3}(z)=z^0\) とおけば,\[\begin{equation}\begin{split}1&
=\frac{(z\!-\!a_{2})(z\!-\!a_{3})}{\,(a_{1}\!-\!a_{2})(a_{1}\!-\!a_{3})\,}
+\frac{(z\!-\!a_{1})(z\!-\!a_{3})}{\,(a_{2}\!-\!a_{1})(a_{2}\!-\!a_{3})\,}
+\frac{(z\!-\!a_{1})(z\!-\!a_{2})}{\,(a_{3}\!-\!a_{1})(a_{3}\!-\!a_{2})\,}\\
&=\left(\frac{1}{\,(a_{1}\!-\!a_{2})(a_{1}\!-\!a_{3})\,}
+\frac{1}{\,(a_{2}\!-\!a_{1})(a_{2}\!-\!a_{3})\,}
+\frac{1}{\,(a_{3}\!-\!a_{1})(a_{3}\!-\!a_{2})\,}\right)\,z^2\\
&\:\:\:\:\:+\left(\frac{a_{2}+a_{3}}{\,(a_{1}\!-\!a_{2})(a_{1}\!-\!a_{3})\,}
+\frac{a_{3}+a_{1}}{\,(a_{2}\!-\!a_{1})(a_{2}\!-\!a_{3})\,}
+\frac{a_{1}+a_{2}}{\,(a_{3}\!-\!a_{1})(a_{3}\!-\!a_{2})\,}\right)\,z\\
&\:\:\:\:\:+\left(\frac{a_{2}\,a_{3}}{\,(a_{1}\!-\!a_{2})(a_{1}\!-\!a_{3})\,}
+\frac{a_{3}\,a_{1}}{\,(a_{2}\!-\!a_{1})(a_{2}\!-\!a_{3})\,}
+\frac{a_{1}\,a_{2}}{\,(a_{3}\!-\!a_{1})(a_{3}\!-\!a_{2})\,}\right)
\end{split}\end{equation}\]であり, これより \(E_{3}(0)=0\) が得られる.
　また, \(f_{3}(z)=z^1,\,\,z^2\) とおけば, 同様の計算により, \(E_{3}(1)=0,\,\,E_{3}(2)=1\) が得られる.
　

§３．\(n\!=\!1,\,2\) の場合

　法則性を調べるため, 以下, 少し実験を試みよう.
　
　まず, \(E_{1}(k)=a_{1}^{\,k}=\sigma_{11}^{\:\,k}\) であるから, \[\begin{equation}\begin{split}&E_{1}(0)=1\\
&E_{1}(1)=\sigma_{11}^{　}\\
&E_{1}(-1)=\frac{1}{\,\sigma_{11}\,}\\
&\:\:\:\:\cdots\cdots\end{split}\end{equation}\]すなわち, 任意の \(k\in\mathbb{Z}\) について,\[\textcolor{blue}{E_{1}(k)=\sigma_{11}\,E_{1}(k\!-\!1)}\tag{3.1}\]が成り立つ.
　
　次に, \[E_{2}(k)=\frac{a_{1}^{\,k}}{\,a_{1}-a_{2}\,}
+\frac{a_{2}^{\,k}}{\,a_{2}-a_{1}\,}
=\frac{\,a_{1}^{\,k}\!-a_{2}^{\,k}\,}{\,a_{1}-a_{2}\,}
\tag{3.2}\]であるから, \[\begin{equation}\begin{split}
E_{2}(0)&=0\\
E_{2}(1)&=1^{　}\\
E_{2}(2)&=a_{1}+a_{2}=\sigma_{21}^{　}\\
E_{2}(3)&=a_{1}^{\,2}+a_{1}a_{2}+a_{2}^{\,2}=\sigma_{21}^{\,\:2}-\sigma_{22}^{　}\\
&=\sigma_{21}\,E_{2}(2)-\sigma_{22}\,E_{2}(1)^{　}\\
E_{2}(4)&=a_{1}^{\,4}+a_{1}^{\,3}a_{2}+a_{1}^{\,2}a_{2}^{\,2}
+a_{1}a_{2}^{\,3}+{a_{2}^{\,4}}^{　}\\
&=\sigma_{21}^{\,\:3}-2\,\sigma_{21}\sigma_{22}
=\sigma_{21}(\sigma_{21}^{\,\:2}-\sigma_{22})-\sigma_{21}\sigma_{22}^{　}\\
&=\sigma_{21}\,E_{2}(3)-\sigma_{22}\,E_{2}(2)^{　}\\
&\:\:\:\:\:\:\cdots\cdots
\end{split}\end{equation}\]などが得られる. これより, 任意の \(k\in\mathbb{Z}\) について,\[\textcolor{blue}{E_{2}(k)
=\sigma_{21}\,E_{2}(k\!-\!1)-\sigma_{22}\,E_{2}(k\!-\!2)}\tag{3.3}\]が成り立つ. これは, \((3.2)\) を用いた同値変形により示せる.
　
　また, \((3.2)\) より, \[E_{2}(-\!\:k)=\frac{\,a_{1}^{-k}-a_{2}^{-k}\,}{a_{1}-a_{2}}
=-\frac{\,a_{1}^{\,k}-a_{2}^{\,k}\,}{\,a_{1}^{\,k}\!\:a_{2}^{\,k}\!\:(a_{1}-a_{2})\,}
=-\frac{E_{2}(k)}{\,a_{1}^{\,k}\!\:a_{2}^{\,k}\,}
\tag{3.4}\]であるから, \[\begin{equation}\begin{split}
E_{2}(-1)&=\frac{E_{2}(1)}{\,a_{1}^{\,1}\!\:a_{2}^{\,1}\,}=-\frac{1}{\sigma_{22}}\\ E_{2}(-2)&=\frac{E_{2}(2)}{\,a_{1}^{\,2}\!\:a_{2}^{\,2}\,}
=-\frac{\sigma_{21}}{\sigma_{22}^{\:\:2}}\\
E_{2}(-3)&=\frac{E_{2}(3)}{\,a_{1}^{\,3}\!\:a_{2}^{\,3}\,}
=-\frac{\sigma_{21}^{\,2}-\sigma_{22}}{\sigma_{22}^{\:\:3}}\\
E_{2}(-4)&=\frac{E_{2}(4)}{\,a_{1}^{\,4}\!\:a_{2}^{\,4}\,}
=\frac{\sigma_{21}^{\,3}-2\,\sigma_{21}\sigma_{22}}{\sigma_{22}^{\:\:4}}\\
&\:\:\:\:\cdots\cdots\end{split}\end{equation}\tag{3.5}\]などが成り立つ. あるいは, \((3.3)\) から得られる\[E_{2}(k\!-\!2)=-\frac{\,E_{2}(k)-\sigma_{21}\,E_{2}(k\!-\!1)\,}
{\sigma_{22}}\]および \((2.4)\) を用いて計算しても \((3.5)\) が得られる.
　
　さて, \((2.4)\) および \((3.3)\) を用いて \(E_{2}(k)\) を求めれば, \[\begin{equation}\begin{split}
E_{2}(4)&=\sigma_{21}^{\,\:3}-2\,\sigma_{21}\sigma_{22}^{　}\\
E_{2}(5)&=\sigma_{21}^{\,\:4}-3\,\sigma_{21}^{\:\:2}
\sigma_{22}+{\sigma_{22}^{\:\:2}}^{　}\\
E_{2}(6)&=\sigma_{21}^{\,\:5}-4\,\sigma_{21}^{\:\:3}\sigma_{22}
+3\,{\sigma_{21}\sigma_{22}^{\:\:2}}^{　}\\
E_{2}(7)&=\sigma_{21}^{\,\:6}-5\,\sigma_{21}^{\:\:4}\sigma_{22}
+6\,\sigma_{21}^{\:\:2}\sigma_{22}^{\:\:2}-{\sigma_{22}^{\:\:3}}^{　}\\
E_{2}(8)&=\sigma_{21}^{\,\:7}-6\,\sigma_{21}^{\:\:5}\sigma_{22}
+10\,\sigma_{21}^{\:\:3}\sigma_{22}^{\:\:2}-4\,{\sigma_{21}\sigma_{22}^{\:\:3}}^{　}\\
E_{2}(9)&=\sigma_{21}^{\,\:8}-7\,\sigma_{21}^{\:\:6}\sigma_{22}
+15\,\sigma_{21}^{\:\:4}\sigma_{22}^{\:\:2}-10\,{\sigma_{21}^{\:\:3}
\sigma_{22}^{\:\:3}+\sigma_{22}^{\:\:4}}^{　}\\
&\:\:\:\:\:\:\cdots\cdots^{　}\end{split}\end{equation}\tag{3.6}\]などが得られる. \((3.6)\) の各項の係数を観察すれば, 二項係数との関連性が見出せるであろう. すなわち,\[\begin{equation}\begin{split}
E_{2}(4)&=\binom{3}{0}\sigma_{21}^{\,\:3}-\!\binom{2}{1}\sigma_{21}\sigma_{22}^{　}\\
E_{2}(5)&=\binom{4}{0}\sigma_{21}^{\,\:4}-\!\binom{3}{1}\sigma_{21}^{\:\:2}\sigma_{22}
+\!\binom{2}{2}{\sigma_{22}^{\:\:2}}^{　}\\
E_{2}(6)&=\binom{5}{0}\sigma_{21}^{\,\:5}-\!\binom{4}{1}\sigma_{21}^{\:\:3}\sigma_{22}
+\!\binom{3}{2}{\sigma_{21}\sigma_{22}^{\:\:2}}^{　}\\
E_{2}(7)&=\binom{6}{0}\sigma_{21}^{\,\:6}-\!\binom{5}{1}\sigma_{21}^{\:\:4}\sigma_{22}
+\!\binom{4}{2}\sigma_{21}^{\:\:2}\sigma_{22}^{\:\:2}
-\!\binom{3}{3}{\sigma_{22}^{\:\:3}}^{　}\\
E_{2}(8)&=\binom{7}{0}\sigma_{21}^{\,\:7}-\!\binom{6}{1}\sigma_{21}^{\:\:5}\sigma_{22}
+\!\binom{5}{2}\sigma_{21}^{\:\:3}\sigma_{22}^{\:\:2}
-\!\binom{4}{3}{\sigma_{21}\sigma_{22}^{\:\:3}}^{　}\\
E_{2}(9)&=\binom{8}{0}\sigma_{21}^{\,\:8}-\!\binom{7}{1}\sigma_{21}^{\:\:6}\sigma_{22}
+\!\binom{6}{2}\,\sigma_{21}^{\:\:4}
\sigma_{22}^{\:\:2}-\!\binom{5}{3}{\sigma_{21}^{\:\:3}
\sigma_{22}^{\:\:3}+\!\binom{4}{4}\sigma_{22}^{\:\:4}}^{　}\\
&\:\:\:\:\:\:\cdots\cdots^{　}\end{split}\end{equation}\tag{3.7}\]などが成り立つ. これより, 任意の \(k\in\mathbb{N}\) について,\[\begin{equation}\begin{split}
E_{2}(k)=\binom{k\!-\!1}{0}\sigma_{21}^{\,\:k-1}-
\!\binom{k\!-\!2}{1}\sigma_{21}^{\,\:k-3}\sigma_{22}
+\!\binom{k\!-\!3}{2}\sigma_{21}^{\:\,k-5}\sigma_{22}^{\:\:2}-\cdots\cdots\\
\cdots\cdots+(-1)^{\left[\frac{k\,-\,1}{\,\,\,\,2^{　}}\right]}
\!\binom{k\!-\!1\!-\!\left[\frac{k-1}{2}\right]}{\left[\frac{k-1}{2}\right]}
\sigma_{21}^{\,k-1-2\left[\frac{k\,-\,1}{\,\,\,\,2^{　}}\right]}
\sigma_{22}^{\,\left[\frac{k\,-\,1}{\,\,\,\,2^{　}}\right]}\end{split}\end{equation}\]すなわち\[\textcolor{red}{E_{2}(k)=\sum_{i\!\:=\!\:0}^{\left[\frac{k\,-\,1}{\,\,\,\,2^{　}}\right]}(-1)^{i}\,\binom{k\!-\!1\!-\!i}{i}
\sigma_{21}^{\:\:k-1-2i}\sigma_{22}^{\:\:\:i}\:\:\:(\,k\in\mathbb{N}\,)}\tag{3.8}\]が成り立つと予想される.
　証明は, 数学的帰納法による.
　\(E_{2}(1), \,E_{2}(2), \,E_{2}(3),\,\cdots\) 等々については確認済みであるから, \(k\!-\!1\) 以下について \((3.8)\) が成り立つとすれば, まず, \(k\) が奇数のとき, \((3.3)\) より,\[\begin{equation}\begin{split}
E_{2}&(k)=\sigma_{21}E_{2}(k\!-\!1)-\sigma_{22}E_{2}(k\!-\!2)\\
&=\!\sum_{i\!\:=\!\:0}^{\left[\frac{k\,-\,2}
{\,\,\,\,2^{　}}\right]}\!\!(-1)^{i}\binom{k\!-\!2\!-\!i}{i}
\sigma_{21}\sigma_{21}^{\:\:k-2-2i}\sigma_{22}^{\:\:\:i}
-\!\!\sum_{i\!\:=\!\:0}^{\left[\frac{k\,-\,3}
{\,\,\,\,2^{　}}\right]}\!(-1)^{i}\binom{k\!-\!3\!-\!i}{i}
\sigma_{22}\sigma_{21}^{\:\:k-3-2i}\sigma_{22}^{\:\:\:i}\\
&=\binom{k\!-\!2}{0}\sigma_{21}^{\:\:k-1}
+\!\!\sum_{i\!\:=\!\:1}^{\left[\frac{k\,-\,2}
{\,\,\,\,2^{　}}\right]}\!(-1)^{i}\binom{k\!-\!2\!-\!i}{i}
\sigma_{21}^{\:\:k-1-2i}\sigma_{22}^{\:\:\:i}\\
&\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:-\!\!\sum_{i\!\:=\!\:0}
^{\left[\frac{k\,-\,3}{\,\,\,\,2^{　}}\right]-1}\!\!\!\!\!(-1)^{i}
\binom{k\!-\!3\!-\!i}{i}
\sigma_{21}^{\:\:k-3-2i}\sigma_{22}^{\:\:\:i+1}
\!-(-1)^{\left[\frac{k\,-\,3}{\,\,\,\,2^{　}}\right]}\!\binom{\left[\frac{k-3}{2}\right]}{\left[\frac{k-3}{2}\right]}
\sigma_{22}^{\:\:\left[\frac{k\,-\,3}{\,\,\,\,2^{　}}\right]+1}\\
&=\binom{k\!-\!1}{0}\sigma_{21}^{\:\:k-1}\!
+\!\!\sum_{i\!\:=\!\:1}^{\left[\frac{k\,-\,2}{\,\,\,\,2^{　}}\right]}\!\!(-1)^{i}\binom{k\!-\!1\!-\!i}{i}
\sigma_{21}^{\:\:k-1-2i}\sigma_{22}^{\:\:\:i}
+(-1)^{\left[\frac{k\,-\,1}{\,\,\,\,2^{　}}\right]}\!\binom{\left[\frac{k-1}{2}\right]}{\left[\frac{k-1}{2}\right]}
\sigma_{22}^{\:\:\left[\frac{k\,-\,1}{\,\,\,\,2^{　}}\right]}\\
&=\!\sum_{i\!\:=\!\:0}^{\left[\frac{k\,-\,1}
{\,\,\,\,2^{　}}\right]}\!\!(-1)^{i}\binom{k\!-\!1\!-\!i}{i}
\sigma_{21}^{\:\:k-1-2i}\sigma_{22}^{\:\:\:i}
\end{split}\end{equation}\]が得られ, したがって, \(k\) についても \((3.8)\) が成り立つことがわかる.
　\(k\) が偶数のときについても同様にして示せる. \(\blacksquare\)
　
　また, 任意の \(k\in\mathbb{N}\) について, \((3.4)\) より, \[E_{2}(-k)
=-\frac{E_{2}(k)}{\sigma_{22}^{\:\,k}}\]であるから, \((3.8)\) より, \[\textcolor{red}{E_{2}(-k)
=\sum_{i\!\:=\!\:0}^{\left[\frac{k\,-\,1}{\,\,\,\,2^{　}}\right]}(-1)^{i+1}\,\binom{k\!-\!1\!-\!i}{i}
\sigma_{21}^{\:k-1-2i}\sigma_{22}^{\:\:\:i-k}\:\:\:(\,k\in\mathbb{N}\,)}\tag{3.9}\]が成り立つ.
　

§４．\(n\!=\!3\) の場合

　\(E_{3}(k)\) すなわち \((2.2)\) を通分すれば,\[E_{3}(k)
=-\frac{\,a_{1}^{\:k}(a_{2}\!-\!a_{3})+a_{2}^{\:k}
(a_{3}\!-\!a_{1})+a_{3}^{\:k}(a_{1}\!-\!a_{2})\,}
{(a_{1}\!-\!a_{2})(a_{2}\!-\!a_{3})(a_{3}\!-\!a_{1})}\tag{4.1}\]である. \((4.1)\) の分子を \(f_{3}(k)\) とおけば, \[f_{3}(0)=(a_{2}\!-\!a_{3})+(a_{3}\!-\!a_{1})+(a_{1}\!-\!a_{2})=0\]\[f_{3}(1)=a_{1}(a_{2}\!-\!a_{3})+a_{2}(a_{3}\!-\!a_{1})+a_{3}(a_{1}\!-\!a_{2})
=0\]であり, \(k\!\geq\!2\) のとき,\[\begin{equation}\begin{split}
f_{3}(k)&=(a_{2}\!-\!a_{3})\,a_{1}^{\,k}
-(a_{2}^{\,k}\!-\!a_{3}^{\,k})\,a_{1}
+(a_{2}^{\,k-1}\!\!-a_{3}^{\,k-1})\,a_{2}a_{3}\\
&=(a_{2}\!-\!a_{3})\left(a_{1}^{\,k}-
\left(\,\sum_{i\!\:=\!\:1}^{k}a_{2}^{\,k-i}a_{3}^{\,i-1}\right)a_{1}
+\left(\,\sum_{i\!\:=\!\:1}^{k-1}a_{2}^{\,k-1-i}a_{3}^{i-1}\right)a_{2}a_{3}\right)\\
&=(a_{2}\!-\!a_{3})\left((a_{3}\!-\!a_{1})
\left(\,\sum_{i\!\:=\!\:1}^{k-1}a_{2}^{\,k-i}\,a_{3}^{\,i-1}\right)
-(a_{3}^{\,k-1}\!\!-a_{1}^{\,k-1})\,a_{1}\right)\\
&=(a_{2}\!-\!a_{3})(a_{3}\!-\!a_{1})
\left(\,\sum_{i\!\:=\!\:1}^{k-1}\,a_{2}^{\,k-i}a_{3}^{\,i-1}
-\sum_{i\!\:=\!\:1}^{k-1}\,a_{3}^{\,i-1}a_{1}^{\,k-i}\right)\\
&=-\,(a_{2}\!-\!a_{3})(a_{3}\!-\!a_{1})\left(\,\sum_{i\!\:=\!\:1}^{k-1}\,(a_{1}^{\,k-i}\!\!
-a_{2}^{\,k-i})\,a_{3}^{\,k-1-i}\right)\\
&=-\,(a_{2}\!-\!a_{3})(a_{3}\!-\!a_{1})(a_{1}\!-\!a_{2})
\left(\,\sum_{\substack{0\leq i_{{}_{1}}\!\:,\,0\leq i_{{}_{2}}\!\:,\,0\leq i_{{}_{3}}\\i_{{}_{1}}\!\:+\!\:i_{{}_{2}}\!\:+\!\:i_{{}_{3}}\,=\,k-2}}
\!\!\!\!\!a_{1}^{\,i_{{}_{1}}}\,a_{2}^{\,i_{{}_{2}}}\,a_{3}^{\,i_{{}_{3}}}\right)
\end{split}\end{equation}\]であるから, \(E_{3}(k)\) は, \(a_{1},\,a_{2},\,a_{3}\) についての \(k\!-\!2\) 次の斉次多項式になる.
　
　さて, 少し計算をしてみると, \((3.3)\) のような関係式が \(E_{3}(k)\) についても成り立つと予想される. 実際,\[\begin{equation}\begin{split}
E_{3}(3)&=a_{1}+a_{2}+a_{3}=\sigma_{31}\\
&=\sigma_{31}E_{3}(2)-\sigma_{32}E_{3}(1)+\sigma_{33}E_{3}(0)^{　}\\
E_{3}(4)&=a_{1}^{\,2}+a_{2}^{\,2}+a_{3}^{\,2}
+a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}+a_{3}a_{1}^{　}\\
&=\sigma_{31}^{\:\,2}-\sigma_{32}=\sigma_{1}\cdot\sigma_{1}-\sigma_{2}\cdot1^{　}\\
&=\sigma_{31}E_{3}(3)-\sigma_{32}E_{3}(2)+\sigma_{33}E_{3}(1)^{　}\\
E_{3}(5)&=a_{1}^{\,3}\!+a_{2}^{\,3}\!
+a_{3}^{\,3}\!+a_{1}^{\,2}a_{2}\!+a_{1}^{\,2}a_{3}\!
+a_{1}a_{2}^{\,2}\!+a_{2}^{\,2}a_{3}\!+a_{1}a_{3}^{\,2}\!
+a_{2}a_{3}^{\,2}\!+a_{1}a_{2}a_{3}^{　}\\
&=\sigma_{31}^{\:\:3}-2\,\sigma_{31}\sigma_{32}+\sigma_{33}^{　}\\
&=\sigma_{31}E_{3}(4)-\sigma_{32}E_{3}(3)+\sigma_{33}E_{3}(2)^{　}\\
E_{3}(6)&={\!\!\!\!\sum_{\substack{0\leq i_{{}_{1}}\:\!,\,0\leq i_{{}_{2}}
\:\!,\,0\leq i_{{}_{3}}\\i_{{}_{1}}\!\:+\!\:i_{{}_{2}}\!\:+\!\:i_{{}_{3}}\,=\,4}}
\!\!\!\!\!\!a_{1}^{\,i_{{}_{1}}}\,a_{2}^{\,i_{{}_{2}}}\,a_{3}^{\,i_{{}_{3}}}}^{　}
\!\!\!=\sigma_{31}^{\,4}-3\,\sigma_{31}^{\,2}
\sigma_{32}+\sigma_{32}^{\,2}+2\,\sigma_{31}\sigma_{33}\\
&=\sigma_{31}E_{3}(5)-\sigma_{32}E_{3}(4)+\sigma_{33}E_{3}(3)^{　}\\
\end{split}\end{equation}\] などが成り立つから, これより, \[\textcolor{blue}{E_{3}(k)=\sigma_{31}E_{3}(k\!-\!1)
-\sigma_{32}E_{3}(k\!-\!2)+\sigma_{33}E_{3}(k\!-\!3)}\tag{4.2}\]が得られる. \((4.2)\) は \((4.1)\) を用いた同値変形により証明できるから, これは任意の \(k\in\mathbb{Z}\) について成り立つことがわかる.
　したがって, \[E_{3}(k\!-\!3)=
\,\frac{\,E_{3}(k)-\sigma_{31}E_{3}(k\!-\!1)+\sigma_{32}E_{3}(k\!-\!2)\,}
{\sigma_{33}}\]を得るから, \[\begin{equation}\begin{split}E_{3}(-1)&=
\,\frac{\,E_{3}(2)-\sigma_{31}E_{3}(1)+\sigma_{32}E_{3}(0)\,}
{\sigma_{33}}=\,\frac{1}{\,\sigma_{33}\,}\\
E_{3}(-2)&=\,\frac{\,E_{3}(1)-\sigma_{31}E_{3}(0)+\sigma_{32}E_{3}(-1)\,}
{\sigma_{33}}=\,\frac{\sigma_{32}}{\,\sigma_{33}^{\:\:2}\,}\\
E_{3}(-3)&=\,\frac{\,E_{3}(0)-\sigma_{31}E_{3}(-1)+\sigma_{32}E_{3}(-2)\,}
{\sigma_{33}}=\,\frac{\,\sigma_{32}^{\:\:2}
-\sigma_{31}\sigma_{33}\,}{\sigma_{33}^{\:\:3}}\\
E_{3}(-4)&=\,\frac{\,E_{3}(-1)-
\sigma_{31}E_{3}(-2)+\sigma_{32}E_{3}(-3)\,}{\sigma_{33}}
=\,\frac{\,\sigma_{32}^{\:\:3}-
2\,\sigma_{31}\sigma_{32}\sigma_{33}+\sigma_{33}^{\:\:2}\,}
{\sigma_{33}^{\:\:4}}\\
E_{3}(-5)&=\,\frac{\,E_{3}(-2)-
\sigma_{31}E_{3}(-3)+\sigma_{32}E_{3}(-4)\,}{\sigma_{33}}\\
&\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\,\frac{\,\sigma_{32}^{\:\:4}
-3\,\sigma_{31}\sigma_{32}^{\:\:2}\sigma_{33}
+2\,\sigma_{32}\sigma_{33}^{\:\:2}+
\sigma_{31}\sigma_{33}^{\:\:3}\,}{\sigma_{33}^{\:\:5}}\\
&\cdots\cdots\end{split}\end{equation}\]などが成り立つ.
　
　さて, \((2.4)\) および \((4.2)\) を用いて \(E_{3}(k)\) を計算して各項の係数を観察すれば,\[\begin{equation}\begin{split}
E_{3}(0)&=E_{3}(1)=0,\:\:E_{3}(2)=1,\:\:E_{3}(3)=\sigma_{31}\\
E_{3}(4)&=\sigma_{31}^{\:\:2}-\sigma_{32}^{　}\\
E_{3}(5)&=\sigma_{31}^{\:\:3}-2\,\sigma_{31}\sigma_{32}+\sigma_{33}^{　}\\
&=\binom{3}{3}\sigma_{31}^{\:\:3}-\binom{2}{1,1}
\sigma_{31}^{\:\:1}\sigma_{32}^{\:\:1}+\binom{1}{1}\sigma_{33}\\
E_{3}(6)&=\sigma_{31}^{\:\:4}-3\,\sigma_{31}^{\:\:2}\sigma_{32}
+2\,\sigma_{31}\sigma_{33}+{\sigma_{32}^{\:\:2}}^{　}\\
&=\,\binom{4}{4}\sigma_{31}^{\:\:4}
-\binom{3}{2,1}\sigma_{31}^{\:\:2}\sigma_{32}
+\binom{2}{1,1}\sigma_{31}\sigma_{33}
+\binom{2}{2}\sigma_{32}^{\:\:2}\\
E_{3}(7)&=\sigma_{31}^{\:\:5}-4\,\sigma_{31}^{\:\:3}\sigma_{32}
+3\,\sigma_{31}\sigma_{33}+\sigma_{32}^{\:\:2}\\
&=\binom{5}{5}\sigma_{31}^{\:\:5}\!-\!\binom{4}{3,1}\sigma_{31}^{\:\:3}\sigma_{32}
\!+\!\binom{3}{2,1}\sigma_{31}^{\:\:2}\sigma_{33}
\!+\!\binom{3}{1,2}\sigma_{31}\sigma_{32}^{\:\:2}
\!-\!\binom{2}{1,1}\sigma_{32}\sigma_{33}\\
E_{3}(8)&=\sigma_{31}^{\:\:6}-5\,\sigma_{31}^{\:\:4}\sigma_{32}
+4\,\sigma_{31}^{\:\:3}\sigma_{33}+6\,\sigma_{31}^{\:\:2}\sigma_{32}^{\:\:2}
-6\,\sigma_{31}\sigma_{32}\sigma_{33}-
\sigma_{32}^{\:\:3}+{\sigma_{33}^{\:\:2}}^{　}\\
&=\binom{6}{6}\sigma_{31}^{\:\:6}
-\binom{5}{4,1}\sigma_{31}^{\:\:4}\sigma_{32}
+\binom{4}{3,1}\sigma_{31}^{\:\:3}\sigma_{33}
-\binom{4}{2,2}\sigma_{31}^{\:\:2}\sigma_{32}^{\:\:2}\\
&\:\:\:\:\:\:\:\:\:-\,\binom{3}{1,1,1}\sigma_{31}\sigma_{32}\sigma_{33}
-\binom{3}{3}\sigma_{32}^{\:\:3}+\binom{2}{2}\sigma_{33}^{\:\:2}\\
&\cdots\cdots
\end{split}\end{equation}\tag{4.3}\] など, 多項係数との関連性が見出せる.
　

§５．\(n\!\geq\!4\) の場合

　冪和対称式\[S_{n}(k)=\sum_{i\!\:=\!\:1}^{n}a_{i}^{\,k}\:\:\:\:(\,n\in\mathbb{N}\,)\]に関する Girard-Newton の公式\[\textcolor{blue}{\sum_{i\!\:=\!\:0}^{n}\,(-1)^i\,\sigma_{ni}\,S_{n}(k\!-\!i)=0}\tag{5.1}\]については広く知られている. \((3.3)\), \((4.2)\) から一般化した関係式を類推してみると, \(E_{n}(k)\) についても \((5.1)\) と同様の関係式を見出せる. すなわち,\[\textcolor{red}{\sum_{i\!\:=\!\:0}^{n}\,(-1)^i\,
\sigma_{ni}\,E_{n}(k\!-\!i)=0\:\:\:\:(\,n\in\mathbb{N}\,)}\tag{5.2}\]が成り立つと予想される. \((5.2)\) から \((3.3)\) や \((4.2)\) を導くことは容易である.
　
　\((5.2)\) より, \[\begin{equation}\begin{split}
E_{n}(n)&=\sigma_{n1}\\
E_{n}(n\!+\!1)&=\sigma_{n1}^{\:\:2}\!-\sigma_{n2}^{　}\\
E_{n}(n\!+\!2)&=\sigma_{n1}^{\:\:3}\!-2\,\sigma_{n1}\sigma_{n2}\!+\sigma_{n3}^{　}\\
E_{n}(n\!+\!3)&=\sigma_{n1}^{\:\:4}\!-3
\,\sigma_{n1}^{\:\:2}\sigma_{n2}\!+\sigma_{n2}^{\:\:2}\!
+2\,\sigma_{n1}\sigma_{n3}\!-\sigma_{n4}^{　}\\
E_{n}(n\!+\!4)&=\sigma_{n1}^{\:\:5}\!-4\,\sigma_{n1}^{\:\:3}\sigma_{n2}
\!+3\,\sigma_{n1}^{\:\:2}\sigma_{n3}\!+3\,\sigma_{n1}\sigma_{n2}^{\:\:2}
\!-2\,\sigma_{n2}\sigma_{n3}\!-2\,\sigma_{n1}\sigma_{n4}\!+\sigma_{n5}^{　}\\
E_{n}(n\!+\!5)&=\sigma_{n1}^{\:\:6}\!-5\,\sigma_{n1}^{\:\:4}\sigma_{n2}
\!+4\,\sigma_{n1}^{\:\:3}\sigma_{n3}\!+6\,\sigma_{n1}^{\:\:2}\sigma_{n2}^{\:\:2}
\!-3\,\sigma_{n1}^{\:\:2}\sigma_{n4}^{　}\\
&\:\:\:\:\:\:\:\:-6\,\sigma_{n1}\sigma_{n2}
\sigma_{n3}\!+2\,\sigma_{n1}\sigma_{n5}\!+2\,\sigma_{n2}\sigma_{n4}
\!-\sigma_{n2}^{\:\:3}\!+\sigma_{n3}^{\:\:2}\!-\sigma_{n6}^{　}\\
E_{n}(n\!+\!6)&=\sigma_{n1}^{\:\:7}\!-6\,\sigma_{n1}^{\:\:5}\sigma_{n2}
\!+5\,\sigma_{n1}^{\:\:4}\sigma_{n3}\!+10\,\sigma_{n1}^{\:\:3}\sigma_{n2}^{\:\:2}
\!-4\,\sigma_{n1}^{\:\:3}\sigma_{n4}^{　}\\
&\:\:\:\:\:\:\:\:-12\,\sigma_{n1}^{\:\:2}\sigma_{n2}\sigma_{n3}
\!+3\,\sigma_{n1}^{\:\:2}\sigma_{n5}\!+6\,\sigma_{n1}\sigma_{n2}\sigma_{n4}
\!-4\,\sigma_{n1}\sigma_{n2}^{\:\:3}\!+3\,\sigma_{n1}{\sigma_{n3}^{\:\:2}}^{　}\\
&\:\:\:\:\:\:\:\:-2\,\sigma_{n1}\sigma_{n6}\!
+3\,\sigma_{n2}^{\:\:2}\sigma_{n3}\!-2\,\sigma_{n2}\sigma_{n5}
\!-2\,\sigma_{n3}\sigma_{n4}\!+\sigma_{n7}^{　}\\
&\cdots\cdots
\end{split}\end{equation}\]などが成り立つ. \((5.2)\) を用いることにより示せるが, きわめて煩雑である.
　
　これらの関係式から各 \(E_{n}(n\!\!\:+\!\:\!l\!\:\!\:)\) \((\)ただし, \(l\!\!\:\in\mathbb{N}\cup\{0\})\) を観察すれば, 次のことがわかる.
　
　まず, \(l\!+\!1<i\) ならば, \(\sigma_{ni}\) を含む項は生じない.
　次に, 各項に含まれる \(\sigma_{ni}\) の指数を \(\alpha_{i}\) とおけば, 各項の係数の符号は,\[(-1)^{(\!\:l\!\:+1)\,+\,(\alpha_{1}
+\alpha_{2}\,+\,\cdots\,+\,\alpha_{{}_{l\!\:+\!\:1}})}\]をみたし, 係数の絶対値は,\[\frac{\,(\,\alpha_{{}_{1}}
+\alpha_{{}_{2}}+\cdots+\alpha_{{}_{l\!\:+\!\:1}})\,!\,}
{\alpha_{{}_{1}}\,!\,\alpha_{{}_{2}}\,!\,\cdots\,\alpha_{{}_{l\!\:+\!\:1}}!}\]である.
　また, 各項の係数以外の部分を \(\sigma_{n1}^{\:\:\alpha_{{}_{1}}}
\,\sigma_{n2}^{\:\:\alpha_{{}_{2}}}\cdots
\,\sigma_{n\,(\!\:l\!\:+1\!\:)}^{\:\:\:\:\:\:\:\alpha_{{}_{l\!\:+\!\:1}}}\) とおけば, \[\alpha_{1}+2\,\alpha_{2}+3\,\alpha_{3}
+\cdots\cdots+(l\!+\!1)\,\alpha_{{}_{\!\:l\!\:+\!\:1}}=l+1\]が成り立ち, \(l\!\geq\!1\) のとき, \(E_{n}(n\!+\!l)\) は, この式をみたすすべての \(\alpha_{i}\) の組み合わせについて \(1\!+\!\displaystyle{\sum_{i\!\:=\!\:1}^
{\:l}2^{{}^{\left[\frac{i\,-\,1}{\:\:2^{　}}\!\right]}}}\:\) 個の項をもつ.
　
　以上の考察から, \[\textcolor{red}{E_{n}(\!\:n\!+\!\:\!l\!\:)
=\!\!\!\sum_{\tiny{\displaystyle{
\sum_{\:\:{i^{　}\!\!\!\!\!=\:\:1\!\!}^{{{　}^{　}}^{　}}}^{{\:\:\:l\:\:+\:\:1}_{　}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!i\:\alpha_{{\:}_{i}}\:=\:l+1}}}
\left(\,(-1)^{(\!\:l\!\:+1\!\:)\:+
\!\!\tiny{\displaystyle{\sum_{\:\:{j^{　}\!\!\!\!\!=\:\:1\!\!}^{{{　}^{　}}^{　}}}^{{\:\:\:\,l\,\:+\,\:1}_{　}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\alpha_{{}_{\,j}}}}}
\:\:\:\:\:\:\frac{\displaystyle{\left(\,\sum \alpha_{i}\right)\!\:!}}{\displaystyle{\prod_{}^{}(\,\alpha_{i}\,!\,)}}
\prod_{i\!\:=\!\:1}^{\,l+1}\sigma_{ni}^{\:\:\alpha_{{}_{i}}}\right)}\]が成り立つと予想される.
　
　これについては, 複素関数論を援用した証明が考えられるが, 煩雑になるため割愛する. おそらく, L.Euler か C.F.Gauss などは, もう少しエレガントな証明を残しているのではないかと推測する.
　
　さて, ここまでに述べたことは \(E_{n}(k)\,\,(k\in\mathbb{N}\cup\{0\})\) の場合についてであるが, \(k\!<^\!\!0\,\,(k\in\mathbb{Z})\) の場合についてもこれと類似した関係式が得られる. これについては, またの機会に譲ることにしたい.
　
【文献】
［1］高木貞治『代数学講義改訂新版』共立出版, 1965, p.65, pp.144-146
［2］John Konvalina, "A Generalization of Waring's Formula", Journal of combinatorial theory, Series A75, 1996, pp.281-294
［3］H.W.Gould, "The Girard-Waring power sum formulas for symmetric functions and Fibonacci sequence", Fibonacci Quart, 37 (2), 1999, pp.135-140
　