オイラーの分数式

オイラーの分数式
～大学入試問題から～

埼玉県高等学校数学教育研究会
2013年２月執筆

§１．はじめに

　相異なる３個の定数\(\,a,\,b,\,c\,\)についての分数式

\[E\,(k)=\frac{a^k}{\,(a\!-\!b)(a\!-\!c)\,}
+\frac{b^{\!\:k}}{\,(b\!-\!a)(b\!-\!c)\,}+
\frac{c^{\!\:k}}{\,(c\!-\!a)(c\!-\!b)\,}
\tag{1.1}\]

は, 受験参考書などでは「Euler の分数式」と紹介され, この式について

\[\begin{equation}\begin{split}E\,(0)&=0\\
E\,(1)&=0^{　}\\
E\,(2)&=1^{　}\\
E\,(3)&=a+b+c^{　}\end{split}\end{equation}\]

を示す問題は, 大学入試における頻出問題である. その一方, 上記以外の\(\,k\,\)の値について\(\,E\,(k)\,\)を求める問題を, (出題されたことはあるのかも知れないが) 筆者は見かけたことがない.
　
　試みに\(\,k\,\)の値を変えてみれば, たとえば,

\[\begin{equation}\begin{split}
E\,(4)\,\,\,\,&=a^2\!+b^{\!\:2}\!+c^{\!\:2}+ab+bc+ca\\
E\,(5)\,\,\,\,&=(a^2\!+b^{\!\:2}\!+c^{\!\:2})(a+b+c)+abc\\
E\,(-1)&=\frac{1}{\,a\!\:b\!\:c\,}\\
E\,(-2)&=\frac{\,ab+bc+ca\,}{(abc)^2}^{　}\end{split}\end{equation}\]

などが得られる.
　
　本稿では, 一般の\(\,k\in\mathbb{Z}\,\)について\(\,E\,(k)\,\)を考察しようと思う.

§２．定義と基本性質

　まず, \((1.1)\,\)を一般化しておこう.
　
　相異なる\(\,n\,\)個の定数\(\,a_{{}_{i}}\in\mathbb{R}\,(\!\:i\!=\!1,2,\cdots,n\!\:)\,\)について, \(z\in\mathbb{R}\,\)の多項式

\[g_{\!\:n}(z)=\prod_{i\!\:=\!\:1}^{n}(z-a_{{}_{i}})\]

の展開式における\(\,z^{n-i}\,\)の係数を\(\,(-1)^i\,\sigma_{n\!\:i}\,\)とおく. すなわち,

\[\prod_{i\!\:=\!\:1}^{n}(z-a_{{}_{i}})
=\sum_{i\!\:=\!\:1}^{n}\,(-1)^i\,\sigma_{n\!\:i}\,z^{n-i}\]

とおけば, よく知られているように\(\,\sigma_{{}_{n\,i}}\,\)は\(\,a_{{}_{i}}\,\)についての基本対称式である. たとえば, \(g_{{}_{3}}(z)\,\)については,

\[\begin{equation}\begin{split}
&\,(z-a_{{}_{1}})(z-a_{{}_{2}})(z-a_{{}_{3}})\\
=&\,z^3-(a_{{}_{1}}\!+\!\:\!a_{{}_{2}}\!+\!\:\!a_{{}_{3}})\,
z^2+(a_{{}_{1}}\!\:a_{{}_{2}}\!+\!\:\!a_{{}_{2}}\!\:
a_{{}_{3}}\!+\!\:\!a_{{}_{3}}\!\:a_{{}_{1}})
\,z-a_{{}_{1}}\!\:a_{{}_{2}}\!\:a_{{}_{3}}\end{split}\end{equation}\]

であるから,

\[\begin{equation}\begin{split}
\sigma_{{}_{3\!\:1}}&=a_{{}_{1}}+a_{{}_{2}}+a_{{}_{3}}\\
\sigma_{{}_{3\!\:2}}&=a_{{}_{1}}\!\:a_{{}_{2}}+a_{{}_{2}}
\!\:a_{{}_{3}}+a_{{}_{3}}\!\:a_{{}_{1}}\\
\sigma_{{}_{3\!\:3}}&=a_{{}_{1}}\!\:a_{{}_{2}}\!\:a_{{}_{3}}\end{split}\end{equation}\]

である.
　
　このとき, 任意の\(\,k\in\mathbb{Z}\,\)について,

\[\textcolor{blue}{E_{\!\:n}(k)=
\sum_{i\!\:=\!\:1}^{n}\frac{a_{n}^{\!\:k}}
{\displaystyle{\frac{d}{\,dz\,}}g_{n}(a_{{}_{i}})\,}}
\tag{2.1}\]

とおけば, これが\(\,(1.1)\,\)を一般化した分数式になる. たとえば, \(n\!=\!3\,\)のとき,

\[\frac{d}{\,dz\,}g_{{}_{3}}(z)
=(z\!-\!a_{{}_{2}})(z\!-\!a_{{}_{3}})+
(z\!-\!a_{{}_{3}})(z\!-\!a_{{}_{1}})+(z\!-\!a_{{}_{1}})(z\!-\!a_{{}_{2}})\]

であるから,

\[\begin{equation}\begin{split}
E_{3}(k)&
=\sum_{i\!\:=\!\:1}^{\!\:3}\frac{a_{i}^{\!\:k}}
{\,\displaystyle{\frac{d}{\,dz\,}\,g_{{}_{3}}(a_{{}_{i}})\,}}\\
&=\frac{a_{1}^{\,k}}{\,(a_{{}_{1}}\!-\!a_{{}_{2}})(a_{{}_{1}}\!-\!a_{{}_{3}})\,}
+\frac{a_{2}^{\,k}}{\,(a_{{}_{2}}\!-\!a_{{}_{1}})(a_{{}_{2}}\!-\!a_{{}_{3}})\,}
+\frac{a_{3}^{\,k}}{\,(a_{{}_{3}}\!-\!a_{{}_{1}})(a_{{}_{3}}\!-\!a_{{}_{2}})\,}
\end{split}\end{equation}
\tag{2.2}\]

である.
　
　Lagrange の補間式

\[\textcolor{blue}{f_{n}(z)=\sum_{i\!\:=\!\:1}^{n}
\frac{f_{n}(a_{{}_{i}})}{\displaystyle{\frac{d}{\,dz\,}}
g_{n}(a_{{}_{i}})\,}\frac{\,g_{n}(z)\,}{z\!-\!a_{{}_{i}}}}\tag{2.3}\]

を用いれば, \(f_{\!\:n}(z)=z^{\,j}\,(\!\:j\!\!\:=\!\:\!0,1,\cdots,n\!-\!1\!\:)\,\)とおいて, 両辺の\(\,z^{n-1}\,\)の係数を比較することで,

\[\begin{equation}\begin{split}
\textcolor{blue}{E_{\!\:n}(\!\:n\!-\!1)}&\textcolor{blue}{\,=1}\\
\textcolor{blue}{E_{\!\:n}(\!\:n\!-\!j\!\:)}
&\textcolor{blue}{\,=0^{　}\,\,\,(\!\:j=2,\,3,\,\cdots,\,n\!\:)}
\end{split}\end{equation}
\tag{2.4}\]

が得られる.
　余談であるが, 高木貞治は\(\,(2.4)\,\)を「Euler の公式」と称している ([1] p.65). \((1.1)\,\)の名称の由来はここにあるのかも知れない.
　
　\((2.3)\,\)において, たとえば, \(n\!=\!3\,\)のとき,

\[f_{{}_{3}}(z)=
\frac{f_{{}_{3}}(a_{{}_{1}})}{\displaystyle{\frac{d}{\,dz\,}}
\,g_{{}_{3}}(a_{{}_{1}})\,}\!\cdot\!\frac{\,g_{{}_{3}}(z)\,}{z\!-\!a_{{}_{1}}}
+\frac{f_{{}_{3}}(a_{{}_{2}})}{\displaystyle{\frac{d}{\,dz\,}}
g_{{}_{3}}(a_{{}_{2}})\,}\!\cdot\!\frac{\,g_{{}_{3}}(z)\,}{z\!-\!a_{{}_{2}}}
+\frac{f_{{}_{3}}(a_{{}_{3}})}{\displaystyle{\frac{d}{\,dz\,}}g_{{}_{3}}(a_{{}_{3}})\,}
\!\cdot\!\frac{\,g_{{}_{3}}(z)\,}{z\!-\!a_{{}_{3}}}\]

であるから, \(f_{{}_{3}}(z)=z^{\!\:0}\,\)とおけば,

\[\begin{equation}\begin{split}1&
=\frac{(z\!-\!a_{{}_{2}})(z\!-\!a_{{}_{3}})}
{\,(a_{{}_{1}}\!-\!a_{{}_{2}})(a_{{}_{1}}\!-\!a_{{}_{3}})\,}
+\frac{(z\!-\!a_{{}_{1}})(z\!-\!a_{{}_{3}})}
{\,(a_{{}_{2}}\!-\!a_{{}_{1}})(a_{{}_{2}}\!-\!a_{{}_{3}})\,}
+\frac{(z\!-\!a_{{}_{1}})(z\!-\!a_{{}_{2}})}
{\,(a_{{}_{3}}\!-\!a_{{}_{1}})(a_{{}_{3}}\!-\!a_{{}_{2}})\,}\\\\
&=\left(\frac{1}{\,(a_{{}_{1}}\!-\!a_{{}_{2}})(a_{{}_{1}}\!-\!a_{{}_{3}})\,}
+\frac{1}{\,(a_{{}_{2}}\!-\!a_{{}_{1}})(a_{{}_{2}}\!-\!a_{{}_{3}})\,}
+\frac{1}{\,(a_{{}_{3}}\!-\!a_{{}_{1}})(a_{{}_{3}}\!-\!a_{{}_{2}})\,}\right)\,z^2\\
&\:\:\:\:\:+\left(\frac{a_{{}_{2}}+a_{{}_{3}}}
{\,(a_{{}_{1}}\!-\!a_{{}_{2}})(a_{{}_{1}}\!-\!a_{{}_{3}})\,}
+\frac{a_{{}_{3}}+a_{{}_{1}}}{\,(a_{{}_{2}}\!-\!a_{{}_{1}})(a_{{}_{2}}\!-\!a_{{}_{3}})\,}
+\frac{a_{{}_{1}}+a_{{}_{2}}}
{\,(a_{{}_{3}}\!-\!a_{{}_{1}})(a_{{}_{3}}\!-\!a_{{}_{2}})\,}\right)\,z\\
&\:\:\:\:\:+\left(\frac{a_{{}_{2}}\,a_{{}_{3}}}
{\,(a_{{}_{1}}\!-\!a_{{}_{2}})(a_{{}_{1}}\!-\!a_{{}_{3}})\,}
+\frac{a_{{}_{3}}\,a_{{}_{1}}}{\,(a_{{}_{2}}\!-\!a_{{}_{1}})(a_{{}_{2}}\!-\!a_{{}_{3}})\,}
+\frac{a_{{}_{1}}\,a_{{}_{2}}}
{\,(a_{{}_{3}}\!-\!a_{{}_{1}})(a_{{}_{3}}\!-\!a_{{}_{2}})\,}\right)
\end{split}\end{equation}\]

であり, これより\(\,E_{3}(0)=0\,\)が得られる.
　また, \(f_{{}_{3}}(z)=z^{\!\:1},\,\,z^{\!\:2}\,\)とおけば, 同様の計算により, \(E_{3}(1)=0,\,\,E_{3}(2)=1\,\)が得られる.

§３．\(n\!=\!1,\,2\) の場合

　法則性を調べるため, 以下, 少し実験を試みよう.
　
　まず, \(E_{1}(k)=a_{1}^{\,k}=\sigma_{11}^{\:\,k}\,\)であるから,

\[\begin{equation}\begin{split}&E_{1}(0)=1\\
&E_{1}(1)=\sigma_{11}^{　}\\
&E_{1}(-1)=\frac{1}{\,\sigma_{11}}\\
&\:\:\:\:\cdots\cdots\end{split}\end{equation}\]

すなわち, 任意の\(\,k\in\mathbb{Z}\,\)について,

\[\textcolor{blue}{E_{1}(k)=\sigma_{11}^{　}E_{1}(k\!-\!1)}
\tag{3.1}\]

が成り立つ.
　
　次に,

\[E_{2}(k)=\frac{a_{1}^{\,k}}{\,a_{{}_{1}}\!-a_{{}_{2}}\,}
+\frac{a_{2}^{\,k}}{\,a_{{}_{2}}\!-a_{{}_{1}}\,}
=\frac{\,a_{1}^{\,k}\!-a_{2}^{\,k}\,}{\,a_{{}_{1}}\!-a_{{}_{2}}\,}
\tag{3.2}\]

であるから,

\[\begin{equation}\begin{split}
E_{2}(0)&=0\\
E_{2}(1)&=1^{　}\\
E_{2}(2)&=a_{{}_{1}}+a_{{}_{2}}=\sigma_{21}^{　}\\
E_{2}(3)&=a_{1}^{\,2}+a_{{}_{1}}a_{{}_{2}}+a_{2}^{\,2}=\sigma_{21}^{\,\:2}-\sigma_{22}^{　}\\
&=\sigma_{21}^{　}E_{2}(2)-\sigma_{22}^{　}E_{2}(1)^{　}\\
E_{2}(4)&=a_{1}^{\,4}+a_{1}^{\,3}a_{{}_{2}}+a_{1}^{\,2}a_{2}^{\,2}
+a_{1}a_{2}^{\,3}+{a_{2}^{\,4}}^{　}\\
&=\sigma_{21}^{\,\:3}-2\,\sigma_{21}^{　}\sigma_{22}^{　}
=\sigma_{21}^{　}(\sigma_{21}^{\,\:2}-\sigma_{22})-\sigma_{21}^{　}\sigma_{22}^{　}\\
&=\sigma_{21}^{　}E_{2}(3)-\sigma_{22}^{　}E_{2}(2)^{　}\\\\
&\:\:\:\:\:\:\cdots\cdots
\end{split}\end{equation}\]

などが得られる. すなわち, 任意の\(\,k\in\mathbb{Z}\,\)について,

\[\textcolor{blue}{E_{2}(k)
=\sigma_{21}^{　}E_{2}(k\!-\!1)-\sigma_{22}^{　}E_{2}(k\!-\!2)}\tag{3.3}\]

が成り立つ. これは, \((3.2)\,\)を用いた同値変形により示せる.
　
　また, \((3.2)\,\)より,

\[E_{2}(-\!\:k)=
\frac{\,a_{1}^{-k}\!-a_{2}^{-k}\,}{a_{{}_{1}}\!-a_{{}_{2}}}
=-\frac{\,a_{1}^{\,k}-a_{2}^{\,k}\,}
{\,a_{1}^{\,k}\!\:a_{2}^{\,k}\!\:(a_{{}_{1}}\!-a_{2})\,}
=-\frac{E_{2}(k)}{\,a_{1}^{\,k}\!\:a_{2}^{\,k}\,}
\tag{3.4}\]

であるから,

\[\begin{equation}\begin{split}
E_{2}(-1)&=\frac{E_{2}(1)}{\,a_{1}^{\,1}\!\:a_{2}^{\,1}\,}=
-\frac{1}{\sigma_{22}}\\ E_{2}(-2)&=\frac{E_{2}(2)}{\,a_{1}^{\,2}\!\:a_{2}^{\,2}\,}
=-\frac{\sigma_{21}^{　}}{\sigma_{22}^{\:\:2}}\\
E_{2}(-3)&=\frac{E_{2}(3)}{\,a_{1}^{\,3}\!\:a_{2}^{\,3}\,}
=-\frac{\sigma_{21}^{\,2}-\sigma_{22}^{　}}{\sigma_{22}^{\:\:3}}\\
E_{2}(-4)&=\frac{E_{2}(4)}{\,a_{1}^{\,4}\!\:a_{2}^{\,4}\,}
=\frac{\sigma_{21}^{\,3}-2\,\sigma_{21}^{　}\sigma_{22}^{　}}{\sigma_{22}^{\:\:4}}\\\\
&\:\:\:\:\cdots\cdots\end{split}\end{equation}
\tag{3.5}\]

などが成り立つ. あるいは, \((3.3)\,\)から得られる

\[E_{2}(k\!\!\:-\!\!\:2)=-\frac{\,E_{2}(k)-\sigma_{\!\!\:{}_{2\!\:1}}^{　}E_{2}(k\!-\!1)\,}
{\sigma_{\!\!\:{}_{2\!\:2}}}\]

および\(\,(2.4)\,\)を用いて計算しても\(\,(3.5)\,\)が得られる.
　
　さて, \((2.4)\,\)および\(\,(3.3)\,\)を用いて\(\,E_{2}(k)\,\)を求めれば,

\[\begin{equation}\begin{split}
E_{2}(4)&=\sigma_{21}^{\,\:3}-2\,\sigma_{21}^{　}\sigma_{22}^{　}\\
E_{2}(5)&=\sigma_{21}^{\,\:4}-3\,\sigma_{21}^{\:\:2}
\sigma_{22}^{　}+{\sigma_{22}^{\:\:2}}^{　}\\
E_{2}(6)&=\sigma_{21}^{\,\:5}-4\,\sigma_{21}^{\:\:3}\sigma_{22}^{　}
+3\,{\sigma_{21}^{　}\sigma_{22}^{\:\:2}}^{　}\\
E_{2}(7)&=\sigma_{21}^{\,\:6}-5\,\sigma_{21}^{\:\:4}\sigma_{22}^{　}
+6\,\sigma_{21}^{\:\:2}\sigma_{22}^{\:\:2}-{\sigma_{22}^{\:\:3}}^{　}\\
E_{2}(8)&=\sigma_{21}^{\,\:7}-6\,\sigma_{21}^{\:\:5}\sigma_{22}^{　}
+10\,\sigma_{21}^{\:\:3}\sigma_{22}^{\:\:2}-4\,{\sigma_{21}^{　}
\sigma_{22}^{\:\:3}}^{　}\\
E_{2}(9)&=\sigma_{21}^{\,\:8}-7\,\sigma_{21}^{\:\:6}\sigma_{22}^{　}
+15\,\sigma_{21}^{\:\:4}\sigma_{22}^{\:\:2}-10\,{\sigma_{21}^{\:\:3}
\sigma_{22}^{\:\:3}+\sigma_{22}^{\:\:4}}^{　}\\\\
&\:\:\:\:\:\:\cdots\cdots^{　}\end{split}\end{equation}
\tag{3.6}\]

などが得られる. \((3.6)\,\)の各項の係数を観察すれば, 二項係数との関連性が見出せるであろう. すなわち,

\[\begin{equation}\begin{split}
E_{2}(4)&=\binom{3}{0}\sigma_{21}^{\,\:3}
-\!\binom{2}{1}\sigma_{21}^{　}\sigma_{22}^{　}\\
E_{2}(5)&=\binom{4}{0}\sigma_{21}^{\,\:4}
-\!\binom{3}{1}\sigma_{21}^{\:\:2}\sigma_{22}^{　}
+\!\binom{2}{2}{\sigma_{22}^{\:\:2}}^{　}\\
E_{2}(6)&=\binom{5}{0}\sigma_{21}^{\,\:5}
-\!\binom{4}{1}\sigma_{21}^{\:\:3}\sigma_{22}^{　}
+\!\binom{3}{2}{\sigma_{21}^{　}\sigma_{22}^{\:\:2}}^{　}\\
E_{2}(7)&=\binom{6}{0}\sigma_{21}^{\,\:6}
-\!\binom{5}{1}\sigma_{21}^{\:\:4}\sigma_{22}^{　}
+\!\binom{4}{2}\sigma_{21}^{\:\:2}\sigma_{22}^{\:\:2}
-\!\binom{3}{3}{\sigma_{22}^{\:\:3}}^{　}\\
E_{2}(8)&=\binom{7}{0}\sigma_{21}^{\,\:7}
-\!\binom{6}{1}\sigma_{21}^{\:\:5}\sigma_{22}^{　}
+\!\binom{5}{2}\sigma_{21}^{\:\:3}\sigma_{22}^{\:\:2}
-\!\binom{4}{3}{\sigma_{21}^{　}\sigma_{22}^{\:\:3}}^{　}\\
E_{2}(9)&=\binom{8}{0}\sigma_{21}^{\,\:8}-
\!\binom{7}{1}\sigma_{21}^{\:\:6}\sigma_{22}^{　}
+\!\binom{6}{2}\,\sigma_{21}^{\:\:4}
\sigma_{22}^{\:\:2}-\!\binom{5}{3}{\sigma_{21}^{\:\:3}
\sigma_{22}^{\:\:3}+\!\binom{4}{4}\sigma_{22}^{\:\:4}}^{　}\\\\
&\:\:\:\:\:\:\cdots\cdots^{　}\end{split}\end{equation}
\tag{3.7}\]

などが成り立つ. これより, 任意の \(k\in\mathbb{N}\) について,

\[\begin{equation}\begin{split}
E_{2}(k)=\binom{k\!-\!1}{0}\sigma_{21}^{\,\:k-1}-
\!\binom{k\!-\!2}{1}\sigma_{21}^{\,\:k-3}\sigma_{22}^{　}
+\!\binom{k\!-\!3}{2}\sigma_{21}^{\:\,k-5}\sigma_{22}^{\:\:2}-\cdots\\
\cdots+(-1)^{\left[\frac{k\,-\,1}{\,\,\,\,2^{　}}\right]}
\displaystyle{\!\begin{pmatrix}k\!-\!1\!-\displaystyle{\!\left[\frac{k-1}{2}\right]}\\
\displaystyle{\left[\frac{k-1}{2}\right]}\end{pmatrix}}
\sigma_{21}^{\,k-1-2\left[\frac{k\,-\,1}{\,\,\,\,2^{　}}\right]}
\sigma_{22}^{\,\left[\frac{k\,-\,1}{\,\,\,\,2^{　}}\right]}\end{split}\end{equation}\]

すなわち

\[\textcolor{blue}{E_{2}(k)=\sum_{i\!\:=\!\:0}^{\left[\frac{k\,-\,1}{\,\,\,\,2^{　}}\right]}(-1)^{i}\,\binom{k\!-\!1\!-\!i}{i}
\sigma_{21}^{\:\:k-1-2\!\:i}\sigma_{22}^{\:\:\:i}\:\:\:(\,k\in\mathbb{N}\,)}
\tag{3.8}\]

が成り立つと予想される.
　
　\(k\!-\!1\,\)以下について\(\,(3.8)\,\)が成り立つとすれば, \(k\,\)が奇数のとき, \((3.3)\,\)より,

\[\begin{equation}\begin{split}
E_{2}(k)&=\sigma_{21}^{　}E_{2}(k\!-\!1)-\sigma_{22}^{　}E_{2}(k\!-\!2)\\\\
&=\!\sum_{i\!\:=\!\:0}^{\left[\frac{k\,-\,2}
{\,\,\,\,2^{　}}\right]}\!\!(-1)^{i}\binom{k\!-\!2\!-\!i}{i}
\sigma_{21}\sigma_{21}^{\:\:k-2-2\!\:i}\sigma_{22}^{\:\:\:i}
-\!\!\sum_{i\!\:=\!\:0}^{\left[\frac{k\,-\,3}
{\,\,\,\,2^{　}}\right]}\!(-1)^{i}\binom{k\!-\!3\!-\!i}{i}
\sigma_{22}^{　}\sigma_{21}^{\:\:k-3-2\!\:i}\sigma_{22}^{\:\:\:i}\\\\
&=\binom{k\!-\!2}{0}\sigma_{21}^{\:\:k-1}
+\!\!\sum_{i\!\:=\!\:1}^{\left[\frac{k\,-\,2}
{\,\,\,\,2^{　}}\right]}\!(-1)^{i}\binom{k\!-\!2\!-\!i}{i}
\sigma_{21}^{\:\:k-1-2\!\:i}\sigma_{22}^{\:\:\:i}\\
&\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:-\!\!\sum_{i\!\:=\!\:0}
^{\left[\frac{k\,-\,3}{\,\,\,\,2^{　}}\right]-1}\!\!\!\!\!(-1)^{i}
\binom{k\!-\!3\!-\!i}{i}
\sigma_{21}^{\:\:k-3-2i}\sigma_{22}^{\:\:\:i+1}
\!-(-1)^{\left[\frac{k\,-\,3}{\,\,\,\,2^{　}}\right]}\!\binom{\left[\frac{k-3}{2}\right]}{\left[\frac{k-3}{2}\right]}
\sigma_{22}^{\:\:\left[\frac{k\,-\,3}{\,\,\,\,2^{　}}\right]+1}\\\\
&=\binom{k\!-\!1}{0}\sigma_{21}^{\:\:k-1}\!
+\!\!\sum_{i\!\:=\!\:1}^{\left[\frac{k\,-\,2}{\,\,\,\,2^{　}}\right]}\!\!(-1)^{i}\binom{k\!-\!1\!-\!i}{i}
\sigma_{21}^{\:\:k-1-2\!\:i}\sigma_{22}^{\:\:\:i}
+(-1)^{\left[\frac{k\,-\,1}{\,\,\,\,2^{　}}\right]}\!\binom{\left[\frac{k-1}{2}\right]}{\left[\frac{k-1}{2}\right]}
\sigma_{22}^{\:\:\left[\frac{k\,-\,1}{\,\,\,\,2^{　}}\right]}\\\\
&=\!\sum_{i\!\:=\!\:0}^{\left[\frac{k\,-\,1}
{\,\,\,\,2^{　}}\right]}\!\!(-1)^{i}\binom{k\!-\!1\!-\!i}{i}
\sigma_{21}^{\:\:k-1-2\!\:i}\sigma_{22}^{\:\:\:i}
\end{split}\end{equation}\]

が得られるから, \(k\,\)についても \((3.8)\) が成り立つ.
　\(k\,\)が偶数のときについても同様にして示せる.
　
　また, 任意の\(\,k\in\mathbb{N}\,\)について, \((3.4)\,\)より,

\[E_{2}(-k)=-\frac{E_{2}(k)}{\sigma_{22}^{\:\,k}}\]

であるから,

\((3.8)\,\)より,

\[\textcolor{blue}{E_{2}(-k)
=\sum_{i\!\:=\!\:0}^{\left[\frac{k\,-\,1}{\,\,\,\,2^{　}}\right]}(-1)^{i+1}\,\binom{k\!-\!1\!-\!i}{i}
\sigma_{21}^{\:k-1-2\!\:i}\sigma_{22}^{\:\:\:i-k}\:\:\:(\,k\in\mathbb{N}\,)}
\tag{3.9}\]

が成り立つ.

§４．\(n\!=\!3\) の場合

　\(E_{3}(k)\,\)すなわち\(\,(2.2)\,\)を通分すれば,

\[E_{3}(k)
=-\frac{\,a_{1}^{\:k}(a_{{}_{2}}\!-\!a_{{}_{3}})+a_{2}^{\:k}
(a_{{}_{3}}\!-\!a_{{}_{1}})+a_{3}^{\:k}(a_{{}_{1}}\!-\!a_{{}_{2}})\,}
{(a_{{}_{1}}\!-\!a_{{}_{2}})(a_{{}_{2}}\!-\!a_{{}_{3}})(a_{{}_{3}}\!-\!a_{{}_{1}})}
\tag{4.1}\]

である. \((4.1)\) の分子を \(f_{{}_{3}}(k)\) とおけば,

\[f_{{}_{3}}(0)=(a_{{}_{2}}\!-\!a_{{}_{3}})+(a_{{}_{3}}\!-\!a_{{}_{1}})
+(a_{{}_{1}}\!-\!a_{{}_{2}})=0\]\[f_{{}_{3}}(1)=a_{{}_{1}}(a_{{}_{2}}\!-\!a_{{}_{3}})+
a_{{}_{2}}(a_{{}_{3}}\!-\!a_{{}_{1}})+a_{{}_{3}}(a_{{}_{1}}\!-\!a_{{}_{2}})
=0\]

であり, \(k\!\geq\!2\,\)のとき,

\[\begin{equation}\begin{split}
f_{{}_{3}}(k)&=(a_{{}_{2}}\!-\!a_{{}_{3}})\,a_{1}^{\,k}
-(a_{2}^{\,k}\!-\!a_{3}^{\,k})\,a_{{}_{1}}
+(a_{2}^{\,k-1}\!\!-a_{3}^{\,k-1})\,a_{{}_{2}}a_{{}_{3}}\\\\
&=(a_{{}_{2}}\!-\!a_{{}_{3}})\left(a_{1}^{\,k}-
\left(\,\sum_{i\!\:=\!\:1}^{k}a_{2}^{\,k-i}a_{3}^{\,i-1}\right)a_{{}_{1}}
+\left(\,\sum_{i\!\:=\!\:1}^{k-1}a_{2}^{\,k-1-i}a_{3}^{i-1}\right)
a_{{}_{2}}a_{{}_{3}}\right)\\
&=(a_{{}_{2}}\!-\!a_{{}_{3}})\left((a_{{}_{3}}\!-\!a_{{}_{1}})
\left(\,\sum_{i\!\:=\!\:1}^{k-1}a_{2}^{\,k-i}\,a_{3}^{\,i-1}\right)
-(a_{3}^{\,k-1}\!\!-a_{1}^{\,k-1})\,a_{{}_{1}}\right)\\
&=(a_{{}_{2}}\!-\!a_{{}_{3}})(a_{{}_{3}}\!-\!a_{{}_{1}})
\left(\,\sum_{i\!\:=\!\:1}^{k-1}\,a_{2}^{\,k-i}a_{3}^{\,i-1}
-\sum_{i\!\:=\!\:1}^{k-1}\,a_{3}^{\,i-1}a_{1}^{\,k-i}\right)\\
&=-\,(a_{{}_{2}}\!-\!a_{{}_{3}})(a_{{}_{3}}\!-\!a_{{}_{1}})
\left(\,\sum_{i\!\:=\!\:1}^{k-1}\,(a_{1}^{\,k-i}\!\!
-a_{2}^{\,k-i})\,a_{3}^{\,k-1-i}\right)\\
&=-\,(a_{{}_{2}}\!-\!a_{{}_{3}})(a_{{}_{3}}\!-\!a_{{}_{1}})(a_{{}_{1}}\!-\!a_{{}_{2}})
\left(\,\sum_{\substack{0\,\leq\,i_{{}_{1}}\!\:,\,0\,\leq\,i_{{}_{2}}\!\:,\,0\,\leq \,i_{{}_{3}}\\i_{{}_{1}}+\,i_{{}_{2}}+\,i_{{}_{3}}\,=\,k-2}}
\!\!\!\!\!a_{1}^{\,i_{{}_{1}}}\,a_{2}^{\,i_{{}_{2}}}\,a_{3}^{\,i_{{}_{3}}}\right)
\end{split}\end{equation}\]

であるから, \(E_{3}(k)\,\)は, \(a_{{}_{1}},\,a_{{}_{2}},\,a_{{}_{3}}\,\)についての\(\,k\!-\!2\,\)次の斉次多項式になる.
　
　さて, 少し計算をしてみると, \((3.3)\,\)のような関係式が\(\,E_{3}(k)\,\)についても成り立つと予想される. 実際,

\[\begin{equation}\begin{split}
E_{3}(3)&=a_{{}_{1}}+a_{{}_{2}}+a_{{}_{3}}=\sigma_{31}^{　}\\
&=\sigma_{31}^{　}E_{3}(2)-\sigma_{32}^{　}E_{3}(1)+\sigma_{33}^{　}E_{3}(0)^{　}\\\\
E_{3}(4)&=a_{1}^{\,2}+a_{2}^{\,2}+a_{3}^{\,2}
+a_{{}_{1}}a_{{}_{2}}+a_{{}_{2}}a_{{}_{3}}+a_{{}_{3}}a_{{}_{1}}\\
&=\sigma_{31}^{\:\,2}-\sigma_{32}^{　}=\sigma_{1}^{　}
\!\!\cdot\sigma_{1}^{　}\!\!-\sigma_{2}^{　}\!\!\cdot1^{　}\\
&=\sigma_{31}^{　}E_{3}(3)-\sigma_{32}^{　}E_{3}(2)+\sigma_{33}^{　}E_{3}(1)^{　}\\\\
E_{3}(5)&=a_{1}^{\,3}\!+a_{2}^{\,3}\!
+a_{3}^{\,3}\!+a_{1}^{\,2}a_{2}^{　}\!+a_{1}^{\,2}a_{3}^{　}\!\!\!
+a_{1}^{　}\!\!a_{2}^{\,2}\!+a_{2}^{\,2}a_{3}^{　}\!\!\!+a_{1}^{　}\!\!a_{3}^{\,2}\!
+a_{2}^{　}\!a_{3}^{\,2}\!+a_{1}^{　}\!\!\!\:a_{2}^{　}\!a_{3}^{　}\\
&=\sigma_{31}^{\:\:3}-2\,\sigma_{31}^{　}\sigma_{32}^{　}\!+\sigma_{33}^{　}\\
&=\sigma_{31}^{　}E_{3}(4)-\sigma_{32}^{　}E_{3}(3)+\sigma_{33}^{　}E_{3}(2)^{　}\\\\
E_{3}(6)&={\!\!\!\!\sum_{\substack{0\,\leq\,i_{{}_{1}}\:\!,\,0\,\leq\,i_{{}_{2}}
\:\!,\,0\,\leq\,i_{{}_{3}}\\i_{{}_{1}}\!\:+\!\:i_{{}_{2}}\!\:+\!\:i_{{}_{3}}\,=\,4}}
\!\!\!\!\!\!a_{1}^{\,i_{{}_{1}}}\,a_{2}^{\,i_{{}_{2}}}\,a_{3}^{\,i_{{}_{3}}}}^{　}
\!\!\!=\sigma_{31}^{\,4}-3\,\sigma_{31}^{\,2}
\sigma_{32}^{　}\!+\sigma_{32}^{\,2}+2\,\sigma_{31}^{　}\sigma_{33}^{　}\\
&=\sigma_{31}^{　}E_{3}(5)-\sigma_{32}^{　}E_{3}(4)+\sigma_{33}^{　}E_{3}(3)^{　}\\
\end{split}\end{equation}\]

などが成り立つから, これより,

\[\textcolor{blue}{E_{3}(k)=\sigma_{31}^{　}E_{3}(k\!-\!1)
-\sigma_{32}^{　}E_{3}(k\!-\!2)+\sigma_{33}^{　}E_{3}(k\!-\!3)}
\tag{4.2}\]

が得られる. \((4.2)\,\)は\(\,(4.1)\,\)を用いた同値変形により証明できるから, これは任意の\(\,k\in\mathbb{Z}\,\)について成り立つことがわかる.
　したがって,

\[E_{3}(k\!-\!3)=\,\frac{\,E_{3}(k)-\sigma_{31}^{　}E_{3}(k\!-\!1)
+\sigma_{32}^{　}E_{3}(k\!-\!2)\,}{\sigma_{33}}\]

を得るから,

\[\begin{equation}\begin{split}E_{3}(-1)&=
\,\frac{\,E_{3}(2)-\sigma_{31}E_{3}(1)+\sigma_{32}E_{3}(0)\,}
{\sigma_{33}}=\,\frac{1}{\,\sigma_{33}\,}\\
E_{3}(-2)&=\,\frac{\,E_{3}(1)-\sigma_{31}E_{3}(0)+\sigma_{32}E_{3}(-1)\,}
{\sigma_{33}}=\,\frac{\sigma_{32}^{　}}{\,\sigma_{33}^{\:\:2}\,}\\
E_{3}(-3)&=\,\frac{\,E_{3}(0)-\sigma_{31}^{　}E_{3}(-1)+\sigma_{32}^{　}E_{3}(-2)\,}
{\sigma_{33}}=\,\frac{\,\sigma_{32}^{\:\:2}
-\sigma_{31}^{　}\sigma_{33}^{　}\,}{\sigma_{33}^{\:\:3}}\\
E_{3}(-4)&=\,\frac{\,E_{3}(-1)-
\sigma_{31}^{　}E_{3}(-2)+\sigma_{32}^{　}E_{3}(-3)\,}{\sigma_{33}}
=\,\frac{\,\sigma_{32}^{\:\:3}-
2\,\sigma_{31}^{　}\sigma_{32}^{　}\sigma_{33}^{　}+\sigma_{33}^{\:\:2}\,}
{\sigma_{33}^{\:\:4}}\\
E_{3}(-5)&=\,\frac{\,E_{3}(-2)-
\sigma_{31}^{　}E_{3}(-3)+\sigma_{32}^{　}E_{3}(-4)\,}{\sigma_{33}}\\
&\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\,\frac{\,\sigma_{32}^{\:\:4}
-3\,\sigma_{31}^{　}\sigma_{32}^{\:\:2}\sigma_{33}^{　}
+2\,\sigma_{32}^{　}\sigma_{33}^{\:\:2}+
\sigma_{31}^{　}\sigma_{33}^{\:\:3}\,}{\sigma_{33}^{\:\:5}}\\\\
&\cdots\cdots\end{split}\end{equation}\]

などが成り立つ.
　
　さて, \((2.4)\,\)および \(\,(4.2)\,\)を用いて\(\,E_{3}(k)\,\)を計算して各項の係数を観察すれば,

\[\begin{equation}\begin{split}
E_{3}(0)&=E_{3}(1)=0,\:\:E_{3}(2)=1,\:\:E_{3}(3)=\sigma_{31}^{　}\\\\
E_{3}(4)&=\sigma_{31}^{\:\:2}-\sigma_{32}^{　}\\\\
E_{3}(5)&=\sigma_{31}^{\:\:3}-2\,\sigma_{31}^{　}\sigma_{32}^{　}+\sigma_{33}^{　}\\
&=\binom{3}{3}\sigma_{31}^{\:\:3}-\binom{2}{1,1}
\sigma_{31}^{\:\:1}\sigma_{32}^{\:\:1}+\binom{1}{1}\sigma_{33}^{　}\\\\
E_{3}(6)&=\sigma_{31}^{\:\:4}-3\,\sigma_{31}^{\:\:2}\sigma_{32}^{　}
+2\,\sigma_{31}^{　}\sigma_{33}^{　}+{\sigma_{32}^{\:\:2}}^{　}\\
&=\,\binom{4}{4}\sigma_{31}^{\:\:4}
-\binom{3}{2,1}\sigma_{31}^{\:\:2}\sigma_{32}^{　}
+\binom{2}{1,1}\sigma_{31}^{　}\sigma_{33}^{　}
+\binom{2}{2}\sigma_{32}^{\:\:2}\\\\
E_{3}(7)&=\sigma_{31}^{\:\:5}-4\,\sigma_{31}^{\:\:3}\sigma_{32}^{　}
+3\,\sigma_{31}^{　}\sigma_{33}^{　}+\sigma_{32}^{\:\:2}\\
&=\!\binom{5}{5}\!\:\!\sigma_{31}^{\:\:5}\!-\!\binom{4}{\!3,\!1\!}
\!\!\:\sigma_{31}^{\:\:3}\!\!\:\sigma_{32}^{　}
\!+\!\binom{3}{\!2,\!1\!}\!\!\:\sigma_{31}^{\:\:2}\!\!\:\sigma_{33}^{　}
\!+\!\binom{3}{\!1,\!2\!}\!\!\:\sigma_{31}^{　}\!\,\sigma_{32}^{\:\:2}
\!-\!\binom{2}{\!1\!,\!1\!}\!\!\:\sigma_{32}^{　}\!\,\sigma_{33}^{　}\\\\
E_{3}(8)&=\sigma_{31}^{\:\:6}-5\,\sigma_{31}^{\:\:4}\sigma_{32}^{　}
+4\,\sigma_{31}^{\:\:3}\sigma_{33}^{　}+6\,\sigma_{31}^{\:\:2}\sigma_{32}^{\:\:2}
-6\,\sigma_{31}^{　}\sigma_{32}^{　}\sigma_{33}^{　}-
\sigma_{32}^{\:\:3}+{\sigma_{33}^{\:\:2}}^{　}\\
&=\binom{6}{6}\sigma_{31}^{\:\:6}
-\binom{5}{4,1}\sigma_{31}^{\:\:4}\sigma_{32}^{　}
+\binom{4}{3,1}\sigma_{31}^{\:\:3}\sigma_{33}^{　}
-\binom{4}{2,2}\sigma_{31}^{\:\:2}\sigma_{32}^{\:\:2}\\
&\:\:\:\:\:\:\:\:\:-\,\binom{3}{1,1,1}\sigma_{31}^{　}\sigma_{32}^{　}\sigma_{33}^{　}
-\binom{3}{3}\sigma_{32}^{\:\:3}+\binom{2}{2}\sigma_{33}^{\:\:2}\\\\
&\cdots\cdots
\end{split}\end{equation}
\tag{4.3}\]

など, 多項係数との関連性が見出せる.

§５．\(n\!\geq\!4\) の場合

　冪和対称式

\[S_{n}(k)=\sum_{i\!\:=\!\:1}^{n}a_{i}^{\,k}\:\:\:\:(\!\:n\in\mathbb{N}\!\:)\]

に関する Girard-Newton の公式

\[\textcolor{blue}{\sum_{i\!\:=\!\:0}^{n}\,(-1)^i\,
\sigma_{n\!\:i}\,S_{n}(k\!\!\:-\!\!\:i)=0}
\tag{5.1}\]

については広く知られている. \((3.3)\), \((4.2)\,\)から一般化した関係式を類推してみると, \(E_{n}(k)\,\)についても\(\,(5.1)\,\)と同様の関係式を見出せる. すなわち,

\[\textcolor{blue}{\sum_{i\!\:=\!\:0}^{n}\,(-1)^i\,
\sigma_{n\!\:i}\,E_{n}(k\!\!\:-\!\:\!i)=0\:\:\:\:(\!\:n\in\mathbb{N}\!\:)}\tag{5.2}\]

が成り立つと予想される. \((5.2)\,\)から\(\,(3.3)\,\)や\(\,(4.2)\,\)を導くことは容易である.
　
　\((5.2)\,\)より,

\[\begin{equation}\begin{split}
E_{n}(n)&=\sigma_{\!n1}^{　}\\\\
E_{n}(n\!+\!1)&=\sigma_{\!n1}^{\:\:2}\!-\sigma_{\!n2}^{　}\\\\
E_{n}(n\!+\!2)&=\sigma_{\!n1}^{\:\:3}\!-2\,
\sigma_{\!n1}^{　}\sigma_{\!n2}^{　}\!+\sigma_{\!n3}^{　}\\\\
E_{n}(n\!+\!3)&=\sigma_{\!n1}^{\:\:4}\!-3
\,\sigma_{\!n1}^{\:\:2}\sigma_{\!n2}\!+\sigma_{\!n2}^{\:\:2}\!
+2\,\sigma_{\!n1}^{　}\sigma_{\!n3}^{　}\!-\sigma_{\!n4}^{　}\\\\
E_{n}(n\!+\!4)&=\sigma_{\!n1}^{\:\:5}\!-4\,\sigma_{\!n1}^{\:\:3}\sigma_{\!n2}^{　}
\!+3\,\sigma_{\!n1}^{\:\:2}\sigma_{\!n3}^{　}\!+3\,\sigma_{\!n1}^{　}\sigma_{\!n2}^{\:\:2}
\!-2\,\sigma_{\!n2}^{　}\sigma_{\!n3}^{　}\!-2\,\sigma_{\!n1}^{　}\sigma_{\!n4}^{　}\!+\sigma_{\!n5}^{　}\\\\
E_{n}(n\!+\!5)&=\sigma_{\!n1}^{\:\:6}\!-5\,\sigma_{\!n1}^{\:\:4}\sigma_{\!n2}^{　}
\!+4\,\sigma_{\!n1}^{\:\:3}\sigma_{\!n3}^{　}\!+
6\,\sigma_{\!n1}^{\:\:2}\sigma_{\!n2}^{\:\:2}
\!-3\,\sigma_{\!n1}^{\:\:2}\sigma_{\!n4}^{　}\\
&\:\:\:\:\:\:\:\:-\,6\,\sigma_{\!n1}^{　}\sigma_{\!n2}^{　}
\sigma_{\!n3}^{　}\!+2\,\sigma_{\!n1}^{　}
\sigma_{\!n5}^{　}\!+2\,\sigma_{\!n2}^{　}\sigma_{\!n4}^{　}
\!-\sigma_{\!n2}^{\:\:3}\!+\sigma_{\!n3}^{\:\:2}\!-\sigma_{\!n6}^{　}\\\\
E_{n}(n\!+\!6)&=\sigma_{\!n1}^{\:\:7}\!-6\,\sigma_{\!n1}^{\:\:5}\sigma_{\!n2}^{　}
\!+5\,\sigma_{\!n1}^{\:\:4}\sigma_{\!n3}^{　}\!+10\,\sigma_{\!n1}^{\:\:3}\sigma_{\!n2}^{\:\:2}
\!-4\,\sigma_{\!n1}^{\:\:3}\sigma_{\!n4}^{　}\\
&\:\:\:\:\:\:\:\:-12\,\sigma_{\!n1}^{\:\:2}\sigma_{\!n2}^{　}\sigma_{\!n3}^{　}
\!+3\,\sigma_{\!n1}^{\:\:2}\sigma_{\!n5}^{　}\!+6\,
\sigma_{\!n1}^{　}\sigma_{\!n2}^{　}\sigma_{\!n4}^{　}
\!-4\,\sigma_{\!n1}^{　}\sigma_{\!n2}^{\:\:3}\!+3\,\sigma_{\!n1}^{　}{\sigma_{\!n3}^{\:\:2}}^{　}\\
&\:\:\:\:\:\:\:\:-\,2\,\sigma_{\!n1}^{　}\sigma_{\!n6}^{　}\!
+3\,\sigma_{\!n2}^{\:\:2}\sigma_{\!n3}^{　}\!-2\,\sigma_{\!n2}^{　}\sigma_{\!n5}^{　}
\!-2\,\sigma_{\!n3}^{　}\sigma_{\!n4}^{　}\!+\sigma_{\!n7}^{　}\\\\
&\cdots\cdots
\end{split}\end{equation}\]

などが成り立つ. \((5.2)\,\)を用いることにより示せるが, きわめて煩雑である.
　
　これらの関係式から各\(\,E_{n}(n\!\!\:+\!\:\!l\!\:\!\:)\,\)\(\,(\)ただし, \(l\!\!\:\in\mathbb{N}\cup\{0\})\,\)を観察すれば, 次のことがわかる.
　
　まず, \(l\!+\!1<i\,\)ならば, \(\sigma_{n\!\:i}\,\)を含む項は生じない.
　次に, 各項に含まれる\(\,\sigma_{n\!\:i}\,\)の指数を\(\,\alpha_{{}_{i}}\,\)とおけば, 各項の係数の符号は,

\[(-1)^{(\!\:l\!\:+1)\,+\,(\alpha_{{}_{1}}
+\,\alpha_{{}_{2}}\,+\,\cdots\,+\,\alpha_{{}_{l\!\:\!\:+\!\:\!\:1}})}\]

をみたし, 係数の絶対値は,

\[\frac{\,(\,\alpha_{{}_{1}}
+\alpha_{{}_{2}}+\cdots+\alpha_{{}_{l\,+\,1}})\,!\,}
{\alpha_{{}_{1}}\,!\,\alpha_{{}_{2}}\,!\,\cdots\,\alpha_{{}_{l\,+\,1}}!}\]

である.
　また, 各項の係数以外の部分を\(\,\sigma_{n1}^{\:\:\alpha_{{}_{1}}}
\,\sigma_{n2}^{\:\:\alpha_{{}_{2}}}\cdots
\,\sigma_{n\,(\!\:l\!\:+1\!\:)}^{\:\:\:\:\:\:\:\alpha_{{}_{l\!\:+\!\:1}}}\,\)とおけば,

\[\alpha_{1}+2\,\alpha_{2}+3\,\alpha_{3}
+\cdots+(l\!+\!1)\,\alpha_{{}_{\!\:l\!\:\!\:+\!\:\!\:1}}=l+1\]

が成り立ち, \(l\!\geq\!1\,\)のとき, \(E_{n}(n\!+\!l)\,\)は, この式をみたすすべての\(\,\alpha_{i}\,\)の組み合わせについて

\[\,1\!+\!\displaystyle{\sum_{i\!\:=\!\:1}^{\:l}2^{{}^{\left[\,\frac{i\,-\,1}{\:\:2^{　}}\right]}}}\:\,\]

個の項をもつ.
　
　以上の考察から,

\[\textcolor{blue}{E_{n}(\!\:n\!+\!\:\!l\!\:)
=\!\!\!\sum_{\tiny{\displaystyle{
\sum_{\:\:{i^{　}\!\!\!\!\!=\:\:1\!\!}^{{{　}^{　}}^{　}}}^{{\:\:\:l\:+\:\:1}_{　}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!i\:\alpha_{{\:}_{{}_{i}}}\:=\:l+1}}}
\left(\,(-1)^{(\!\:l\!\:+1\!\:)\:+
\!\!\tiny{\displaystyle{\sum_{\:\:{j^{　}\!\!\!\!\!=\:\:1\!\!}^{{{　}^{　}}^{　}}}^{{\:\:\:\,l\,\:+\,\:1}_{　}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\alpha_{{}_{\,{}_{j}}}}}}
\:\:\:\:\:\:\frac{\displaystyle{\left(\,\sum \alpha_{{}_{i}}\right)\!\:!}}{\displaystyle{\prod_{}^{}(\,\alpha_{{}_{i}}\,!\,)}}
\prod_{i\!\:=\!\:1}^{\,l+1}\sigma_{\!n\!\:i}^{\:\:\alpha_{{}_{i}}}\right)}\]

が成り立つと予想される.
　
　これについては, 複素関数論を援用した証明が考えられるが, 煩雑になるため割愛する. おそらく, L.Euler か C.F.Gauss などは, もう少しエレガントな証明を残しているのではないかと推測する.
　
　さて, ここまでに述べたことは\(\,E_{n}(k)\,\,(k\in\mathbb{N}\cup\{0\})\,\)の場合についてであるが, \(k\!<^\!\!0\,\,(k\in\mathbb{Z})\,\)の場合についてもこれと類似した関係式が得られる. これについては, またの機会に譲ることにしたい.
　

文献

[１]	高木貞治『代数学講義改訂新版』共立出版, 1965, p.65, pp.144-146.
[２]	John Konvalina, "A Generalization of Waring's Formula", Journal of combinatorial theory, Series A75, 1996, pp.281-294.
[３]	H.W.Gould, "The Girard-Waring power sum formulas for symmetric functions and Fibonacci sequence", Fibonacci Quart, 37 (2), 1999, pp.135-140.