「相加平均・相乗平均の関係」を含む関数

第83回全国算数・数学教育研究大会 第56回関東都県算数・数学教育研究大会 2001年８月 執筆

§１．はじめに

高等学校で学ぶ不等式の一つに「相加平均・相乗平均の関係」即ち与えられた\(\,m\,\)個の非負定数\(\,a_{{}_{k}}\;(\!\:k\!\!\:=\!1,\cdots,m)\,\)に関する不等式

\[\textcolor{blue}{\frac{1}{\,m\,}\left(\,\sum_{k\!\:\!\:=\!\:1} ^{m}a_{{}_{k}}\right)\geq \left(\,\prod_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}a_{{}_{k}}\right) ^{\!\!\frac{1}{\,m\,}}} \tag{1.1}\]

がある. 　現行の教科書で扱われるのは\(\,m\!=\!2\,\)の場合のみであるが, 過去の大学入試に於いては\(\,(1.1)\,\)の証明を求める問題も頻繁に出題された. そこでは数学的帰納法によって証明するのが一般的であるが, 他にも種々の証明法が知られている. 　 　複数個の非負定数に関する不等式の証明問題では, \((1.1)\,\)を適用できる場合が少なくない. 例えば

\[{a_{{}_{1}}}^{\!n+2}+{a_{{}_{2}}}^{\!n+2} \geq a_{{}_{1}}a_{{}_{2}}\,({a_{{}_{1}}}^{\!n}\!+{a_{{}_{2}}}^{\!n})　(\!\:n\in \mathbb{N}\!\:) \tag{1.2}\]

については, 両辺の差から得られる因数分解を以って

\[(a_{{}_{1}}\!-\!a_{{}_{2}})^2({a_{{}_{1}}}^{\!n}+{a_{{}_{1}}}^{\!n-1}a_{{}_{2}} +\cdots+a_{{}_{1}}{a_{{}_{2}}}^{\!n-1}+{a_{{}_{2}}}^{\!n})\geq 0\]

の様に示すことも可能であるが, \((1.1)\,\)を用いれば

\[\begin{eqnarray}\begin{split}\frac{1}{\,n\!+\!2\,} \left(\,n\,{a_{{}_{1}}}^{\!n+2}+{a_{{}_{1}}}^{\!n+2} +{a_{{}_{2}}}^{\!n+2}\!\:\right)\geq\left({a_{{}_{1}}}^{\!n\:\!(n+2)} \,{a_{{}_{1}}}^{\!n+2}\,{a_{{}_{2}}} ^{\!n+2}\right)^{\!\frac{1}{\!\:n\,+\,2^{　}\!\!}} ={a_{{}_{1}}}^{\!n}a_{{}_{1}}a_{{}_{2}} \end{split}\end{eqnarray} \tag{1.3a}\]

及び

\[\begin{eqnarray}\begin{split}\frac{1}{\,n\!+\!2\,}\left(\,n\,{a_{{}_{2}}}^{\!n+2} +{a_{{}_{1}}}^{\!n+2}+{a_{{}_{2}}}^{\!n+2} \right)\geq\left({a_{{}_{2}}}^{\!n\:\!(n+2)} \,{a_{{}_{1}}}^{\!n+2}\,{a_{{}_{2}}} ^{\!n+2}\right)^{\!\frac{1}{\:\!n\,+\,2^{　}\!\!}} ={a_{{}_{2}}}^{\!n}a_{{}_{1}}a_{{}_{2}}\end{split}\end{eqnarray} \tag{1.3b}\]

が得られ, これらを辺々加えれることで\(\,(1.2)\,\)が得られるのである. 　 　本稿では, \((1.3\mathrm{a})\,\)及び\(\,(1.3\mathrm{b})\,\)の様な手法を用いて\(\,(1.1)\,\)から新たな不等式を導出してみようと思う.

§２．\(m\,\)定数への拡張

以下, \(m\,(\geq \!2)\,\)を定数として\(\,(1.2)\,\)を与えられた\(\,m\,\)個の非負定数\(\,a_{{}_{k}}\,\)に関する不等式に拡張する. 　適当な\(\,n\in \mathbb{Z}\,\)を採れば, \((1.1)\,\)より

\[\begin{eqnarray}\begin{split}\frac{1}{\,n\!+\!m\,} \left(\:\!n\:\!{a_{{}_{j}}}^{n+m} +\sum_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{n+m}\right)\geq\left({a_{{}_{j}}}^{n\:\!(n+m)} \prod_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}} ^{n+m}\right)^{\!\!\frac{1}{{}_{\,n\,+\,m\,}}} \!\!={a_{{}_{j}}}^{\!n}\prod_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}a_{{}_{k}} \end{split}\end{eqnarray} \tag{2.1}\]

が得られるから, \(\,j\!\!\:=\!1,\cdots,m\,\)についてこの不等式を辺々加えれば

\[\textcolor{blue}{\sum_{k\!\:\!\:=\!\:1} ^{m}{a_{{}_{k}}}^{\!n+m} \geq\left(\,\prod_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}a_{{}_{k}}\right)\!\! \left(\,\sum_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{\!n}\right)} \tag{2.2}\]

が得られる. 　\((1.1)\,\)を適用するために必要な指数\(\,n\,\)の条件は, \((2.1)\,\)の左辺に於いて\(\,n\!\!\:+\!\:\!m\!\geq\!1\,\)且つ\(\,{a_{\!\:j}}^{n+m}\,\)の係数\(\,n\!+\!1\,\)が\(\,0\,\)以上であることである. 従って, 上掲した「適当な\(\,n\)」とは\(\,n\in\mathbb{N}\cup\!\!\:\{\!\:0,-1\!\:\}\,\)を満たすものでなければならない.

この条件の下で\(\,(2.2)\,\)に於ける\(\,m,\,n\,\)の値を適当に定めてみると, 例えば\(\,m\!=\!2\,\)の時は

\[\begin{split}{a_{{}_{1}}}^{\!2}\!+\!{a_{{}_{2}}}^{\!2} &\geq2\,a_{{}_{1}}a_{{}_{2}}　&(\!\:n\!=\!0\!\:)\\[3pt] {a_{{}_{1}}}^{\!3}\!+\!{a_{{}_{2}}}^{\!3} &\geq a_{{}_{1}}\!\:a_{{}_{2}}\!\:(a_{{}_{1}}\!+\!\!\:a_{{}_{2}})　 &(\!\:n\!=\!1\!\:)\end{split}\]

が得られ, \(m\!=\!3\,\)の時は

\[\begin{split} {a_{{}_{1}}}^{\!3}\!+\!{a_{{}_{2}}} ^{\!3}\!+\!{a_{{}_{3}}}^{\!3} &\geq3\,a_{{}_{1}}a_{{}_{2}}a_{{}_{3}} &(\!\:n\!=\!0\!\:)\\[3pt] {a_{{}_{1}}}^{\!2}\!+\!{a_{{}_{2}}} ^{\!2}\!+\!{a_{{}_{3}}}^{\!2}&\geq a_{{}_{1}}\!\:a_{{}_{2}}\!+\!a_{{}_{2}} \!\:a_{{}_{3}}\!+\!a_{{}_{3}}\!\:a_{{}_{1}}　&(\!\:n\!=\!-1\!\:)\end{split}\]

が得られる. \((2.2)\,\)は高校生にも馴染み深い不等式を幾つも与えることが分かる. 　\((2.1)\,\)の左辺に於ける\(\,{a_{{}_{j}}}^{n+m}\,\)の係数を\(\,n\,\)から\(\,n\!-\!m\,\)に換えてみれば

\[\begin{equation}\begin{split} &\:\:\:\:\:\:\: \frac{1}{\,n\!+\!m\,}\!\left((n\!-\!m)\,{a_{{}_{j}}}^{n+m} +2\sum_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{\!n+m}\!\right) &\geq\left({a_{{}_{j}}}^{(n-m)\:\!(n+m)} \prod_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}} ^{\!2\:\!(n+m)}\right)^{\!\!\frac{1}{\,n\,+\,m\,}} \!\!={a_{j}}^{\!n-m}\prod_{k\!\:\!\: =\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{2}\end{split}\end{equation} \tag{2.3}\]

が得られるから, \(\!\:j\!\!\:=\!1,\cdots,m\,\)についてこの不等式を辺々加えれば

\[\textcolor{blue}{\sum_{k\!\:\!\:=\!\:1} ^{m}{a_{{}_{k}}}^{\!n+m}\geq \left(\,\prod_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{2}\right)\!\! \left(\,\sum_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{\!n-m}\right)} \tag{2.4}\]

が得られる. 　ここで\(\,(1.1)\,\)を適用するために必要な指数\(\,n\,\)の条件は, \((2.3)\,\)の左辺に於いて, \(n\!\!\:+\!\!\:m\!\geq\!1\,\)且つ\(\,{a_{{}_{j}}}^{n+m}\,\)の係数\(\,n\!-\!m\!+\!2\,\)が\(\,0\,\)以上であることである. 従って, この場合の\(\,n\in\mathbb{N}\,\)は\(\,n\!\!\:\geq\!\!\:m\!-\!2\,\)を満たすものでなければならない. 即ち\(\,(2.2)\,\)及び\(\,(2.4)\,\)に於ける\(\,n\,\)は, 与えられた定数\(\,m\,\)に依存して定められる数である. 　\((2.2)\,\)と\(\,(2.4)\,\)の右辺同士の大小関係については, \((2.1)\,\)から\(\,(2.2)\,\)を得た手法を同様に用いて得られる

\[\textcolor{blue}{\,\sum_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{\!n} \geq\left(\,\prod_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}a_{k}\right) \!\!\left(\,\sum_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}} ^{\!n-m}\right)} \tag{2.5}\]

から判断できる. 言うまでもなく, \((2.5)\,\)に於ける\(\,n\in\mathbb{N}\,\)は\(\,n\!\!\:\geq\!\!\:m\!-\!2\,\)を満たす定数である.

§３．不等式の鎖

以下, \(n\in\mathbb{Z}\,\)を定数とする. \(m\,\)個の非負定数\(\,a_{{}_{k}}\:(\!\:k\!\!\:=\!1,\cdots,m\!\:)\,\)に対し, \(r\in\mathbb{Z}\,\)の関数

\[\textcolor{blue}{f_{m,\,n}(r) =\left(\,\prod_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{\!r}\right)\!\! \left(\,\sum_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}{a_{k}}^{n-m\!\:(r-1)}\right)} \tag{3.1}\]

を考えると, \(\,(2.2)\,\)及び\(\,(2.5)\,\)より

\[f_{m,\,n}(0)\geq f_{m,\,n}(1)\geq f_{m,\,n}(2)\]

であるから, この不等式の拡張として

\[\textcolor{blue}{\begin{equation}\begin{split}\cdots\geq f_{m,\,n}(-2)\geq f_{m,\,n}(-1) \geq f_{m,\,n}(0)\geq f_{m,\,n}(1)\geq f_{m,\,n}(2)\geq\cdots\end{split}\end{equation}} \tag{3.2}\]

が予想されよう. この場合の\(\,n\,\)は\(\,m\,\)に依存せず任意に採れるものとし, 以下, \((3.2)\,\)が成り立つための\(\,r\,\)の条件を求めることにする. 　\((3.2)\,\)を得るためには, 或る\(\,r^{\!\:\prime}\!\in\mathbb{Z}\,\)が存在して

\[\sum_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{n-m\:\!(r^{\prime}-1)}\!\geq \left(\,\prod_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}a_{{}_{k}}\!\right) \!\!\left(\,\sum_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}} ^{n-mr^{\prime}}\right)\tag{3.3}\]

が成り立つことを示せばよい. \((1.1)\,\)により

\[\begin{eqnarray}\begin{split} &\:\:\:\:\:\:\frac{1}{n\!-m\:\!(r^{\prime}\!-\!1)}\! \left((n\!-m\:\!r^{\prime})\,{a_{{}_{j}}} ^{\!n-m\:\!(r^{\prime}-1)}+ \!\sum_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}} ^{\!n-m\:\!(r^{\prime}-1)}\!\right)\\ &\geq\!\left({a_{{}_{j}}}^{(n-m\:\!r^{\prime}) (n-m\:\!(r^{\prime}-1))} \prod_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}} ^{\!n-m\:\!(r^{\prime}-1)}\right) ^{\!\!\frac{1}{{}_{\,n\,-\,m\,(\;\!r^{\;\!\prime}-\,1\,)}\,}} ={a_{{}_{j}}}^{\!n-m\:\!r^{\prime}} \prod_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}a_{{}_{k}}\end{split}\end{eqnarray} \tag{3.4}\]

が得られるから, \(\,j\!\!\:=\!1,\cdots,m\,\)についてこの不等式を辺々加えれば\(\,(3.3)\,\)が得られる. 　ここで\(\,(1.1)\,\)を適用するために必要な\(\,r\,\)の条件は, \((3.4)\,\)の左辺に於いて, \(\,n\!-\!m\:\!(r^{\prime}\!-\!1)\!\geq \!1\,\)且つ\(\,{a_{j}}^{n-m\:\!(r^{\prime}-1)}\,\)の係数\(\,n\!-\!\!\:m\:\!r^{\prime}\!+\!1\,\)が\(\,0\,\)以上であることであるから, \((3.2)\,\)は, \((3.1)\,\)に於いて

\[r\leq\left[\:\!\frac{\!\:n\!\!\:+\!1\!\:}{m}\!\:\right] \tag{3.5}\]

を満たす\(\,r\in\mathbb{Z}\,\)について成り立つ. 　一方, \((3.5)\,\)を満たす\(\,r\,\)の最大値を\(\,r_{{}_{0}}\!=\!\displaystyle{\left[\:\!\frac{\!\:n\!\!\:+\!1\!\:}{m}\!\:\right]}\,\)と置けば

\[r_{{}_{0}}\!\!\:+\!\!\:1\geq\frac{\,n\!\!\:\!\:+\!\:\!\!\:m\!\!\:+\!\:\!1\,}{m}\]

であるから, \(r^{\prime}\!\geq\!r_{{}_{0}}\,\)を満たす\(\,r^{\prime}\!\in\mathbb{Z}\,\)について, \(-\!\:(n\!-\!m\!\:r^{\prime})\!\geq\!1\,\)及び\(\,-\!\:(n\!-\!m\!\:(r^{\prime}\!-\!1)\!\:)\!+\!1\!\geq\!0\,\)が成り立つ. この条件の下で\(\,(1.1)\,\)を適用すれば

\[\begin{eqnarray}\begin{split} &\:\:\:\:\:\:\:\frac{1}{-\!\:(n\!-\!m\!\:r^{\prime})}\! \left(-\!\:(n\!-\!m\!\:(\!\:r^{\prime}\!-\!1))\, {a_{{}_{j}}}^{\!n-mr^{\prime}} +\!\sum_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}} ^{\!n-mr^{\prime}}\!\right)\\ &\geq\!\left({a_{{}_{j}}}^{-\!\:(\!\:n-\!\:m\!\:(\!\:r^{\prime}-1)) (n-mr^{\prime})} \prod_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}} ^{\!n-mr^{\prime}}\right)^ {\!\!\frac{1}{{}_{-\,(\,n\,-\,m\,r^{\!\:\prime}\,)}}} ={a_{{}_{j}}}^{\!n\!\:-\!\:m\!\:(r^{\prime}-1)} \prod_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{-1} \end{split}\end{eqnarray}\]

が得られ, \(\,j=1,\,\cdots,\,m\,\)についてこの不等式を辺々加えれば

\[\begin{eqnarray}\sum_{k\!\:\!\:=\!\:1} ^{m}{a_{{}_{k}}}^{n-\!\:m\!\:(r^{\prime}-1)}\leq \left(\,\prod_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}a_{{}_{k}}\!\right)\!\! \left(\,\sum_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}} ^{\!n-m\!\:r^{\prime}}\right)\end{eqnarray} \tag{3.6}\]

が得られる. 　以上より,

\[\begin{equation}\begin{split}&\textcolor{blue}{\cdots\geq f_{m,\,n}(r_{{}_{0}}\!-\!2)\geq f_{m,\,n}(r_{{}_{0}}\!-\!1)\geq f_{m,\,n}(r_{{}_{0}})}\\[3pt] &\:\:\:\:\:\:\textcolor{blue}{\leq f_{m,\,n}(r_{{}_{0}}\!+\!1)\leq f_{m,\,n}(r_{{}_{0}}\!+\!2)\leq f_{m,\,n}(r_{{}_{0}}\!+\!3)\leq{\cdots}^{　}}\end{split}\end{equation} \tag{3.7}\]

の様に, \(r_{{}_{0}}\,\)を境界として大小関係が逆転する不等式の鎖が得られる.

§４．関数の拡張

前節に於いては\(\,(3.1)\,\)で定義される関数\(\,f_{m,\,n}(r)\,\)の変数を\(\,r\in\mathbb{Z}\,\)としたが, 本節に於いてはこれを\(\,r\in\mathbb{R}\,\)に拡張して考えよう. また, \(a_{{}_{k}}\,\)を (非負定数ではなく) 正定数\(\,(\!\:a_{{}_{k}}\!>\!0\!\:)\,\)としておく. 　与えられた\(\,m\,\)定数\(\,a_{{}_{k}}\,\)と定数\(\,n\in\mathbb{Z}\,\)について定義される\(\,r\in\mathbb{R}\,\)の関数\(\,f_{m,\,n}(r)\,\)は, 前節より

\[\frac{\,n\!\!\:+\!\:\!1\,}{\,m\,}\!\leq r<\!\frac{\,n\!\!\:+\!\!\:m\!\:\!+\!\:\!1\,}{m}\]

に於いて最小値をとることが予想される. 　ここで, \(\displaystyle {r_{{}_{0}}=\!\!\:\frac{\,n\!\!\:+\!\:\!1\,}{m}}\,(\in \!\mathbb{Q}\,)\,\)と置き, \(\alpha\!\in\mathbb{R}\,\)を用いて

\[\textcolor{blue}{\begin{eqnarray}\begin{split} &f_{m,\,n}(r_{{}_{{0}}}\!+\!\!\:\alpha) =\left(\,\prod_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}} ^{\!r_{{}_{0}}\!\:+\!\:\alpha}\right)\!\! \left(\,\sum_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}} ^{n-m\!\:(r_{{}_{0}}\,+\!\:\alpha -1)}\!\right)\\ &\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: =\left(\,\prod_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}} ^{\!r_{{}_{0}}}\right)g\,(\alpha) \end{split}\end{eqnarray}}\]

と置く. ただし, \(\,g\,(\alpha)\,\)は

\[g\,(\alpha)=\left(\,\prod_{k\!\:\!\:=\!\:1} ^{m}{a_{{}_{k}}}^{\!\!\alpha}\right)\!\! \left(\,\sum_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}} ^{\!(1-\alpha)\!\:m\!\:-1}\right)\tag{4.1}\]

である. 　\(g\,(\alpha)\,\)は開区間\(\,(\!\:0,+\!\:\infty)\,\)を値域とする連続関数であるから, \((4.1)\,\)を\(\,\alpha\,\)について微分すれば

\[g^{\prime}(\alpha)=\left(\,\prod_{k\!\:\!\:=\!\:1} ^{m}a_{{}_{k}}^{\!\:\alpha}\right)\!\! \left(\,\sum_{j\!\:\!\:=\!\:1}^{m}\,a_{{}_{j}} ^{\!\:(1-\alpha)\!\:m\!\:-1} \left(\,\sum_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}\,\log \frac{\,a_{{}_{k}}\,}{a_{{}_{j}}}\right)\!\!\right) \tag{4.2}\]

が得られる. 　さらに, \((4.2)\,\)の右辺に於いて\(\,a_{{}_{h}}^{\,(1-\alpha)\!\:m-1}\log\displaystyle{\frac{\,a_{{}_{i}}\,}{a_{{}_{h}}}}\,\)と\(\,a_{{}_{i}}^{\,(1-\alpha)\!\:m-1}\log\displaystyle{\frac{\,a_{{}_{h}}\,}{a_{{}_{i}}}} \!=-\,a_{{}_{i}}^{\,(1-\alpha)\!\:m-1}\log\displaystyle{\frac{\,a_{{}_{i}}\,}{a_{{}_{h}}}}\,\)を組にすれば

\[g^{\prime}(\alpha)=\left(\,\prod_{k\!\:\!\:=\!\:1} ^{m}a_{{}_{k}}^{\!\:\alpha}\right)\!\! \left(\sum_{1\!\:\leq\!\:h\!\:<\!\:i\!\:\leq\!\: m}^{}\!\!\!\!\!\left(a_{{}_{h}}^{\,(1-\alpha)\!\:m-1}\! -a_{{}_{i}}^{\,(1-\alpha)\!\:m-1}\right) \log\!\frac{\,a_{{}_{i}}\,}{a_{{}_{h}}}\right)\]

が得られる. 　ここで, \(h\!<\!i\,\)ならば\(\,a_{{}_{h}}\!\leq\!a_{{}_{i}}\,\)であると仮定しても一般性を失わない. この仮定の下で各\(\,\log\displaystyle{\frac{\,a_{{}_{i}}}{a_{{}_{h}}}}\,\)はいずれも正である. 従って

\[\begin{equation}\begin{split}\alpha\leq 1\!-\!\frac{\,1\,}{m}\Longrightarrow a_{{}_{h}}^{\,(1-\alpha)\!\:m-1}-a_{{}_{i}}^{\,(1-\alpha)\!\:m-1} \leq 0\Longrightarrow g^{\prime}(\alpha)\!\leq 0\\ \alpha\geq 1\!-\!\frac{\,1\,}{m}\Longrightarrow a_{{}_{h}}^{\,(1-\alpha)\!\:m-1}-a_{{}_{i}}^{\,(1-\alpha)\!\:m-1} \geq 0\Longrightarrow g^{\prime}(\alpha)\!\geq 0 \end{split}\end{equation}\]

であるから, \(f_{m,\,n}(r)\,\)は, \(\alpha\!\!\:=\!\!\:1\!-\!\displaystyle{\frac{1}{\,m\,}}\,\)即ち\(\,r\!\!\:=\!\!\:\!\displaystyle{\frac{n}{\,m\,}}\!+\!\!\:1\,\)に於いて最小値\[m\prod_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}a_{{}_{k}}^{\frac{\,n\,}{m}+1}\]をとる.

ところで, \((2.2)\,\)に於いて\(\,n\!=\!0\,\)と置けば, これは \((1.1)\,\)と同値である. これに倣い, \((3.1)\,\)に於いて\(\,n\!=\!0\,\)と置けば, \(r\in\mathbb{R}\,\)の関数

\[\textcolor{blue}{f_{m}(r) =\left(\,\prod_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}a_{{}_{k}}^{\,r}\right)\!\! \left(\,\sum_{k\!\:\!\:=\!\:1}^{m}a_{{}_{k}}^{\,m\!\:(1-r)}\right)} \tag{4.3}\]

は\(\,r\!=\!1\,\)に於いて最小値をとり, \[f_{m}(0)\geq f_{m}(1)\]が成り立つ. これは\(\,(1.1)\,\)即ち「相加平均・相乗平均の関係」と同値であるから, \((4.3)\,\)は\(\,(1.1)\,\)を含む関数であると言えよう.

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